一轮复习配套义：第3篇第3讲三角函数的图象与性质

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1、第3讲　三角函数的图象与性质[最新考纲]1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质.知识梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ]递减区间[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)对称轴x＝kπ＋x＝kπ无辨析感悟1．周期性的判断(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin30°知，120°是正

2、弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)(2)函数y＝tan的最小正周期为.(√)2．判断奇偶性与对称性(3)函数y＝sin是奇函数．(×)(4)函数y＝sinx的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(×)3．求三角函数的单调区间(5)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin2x的单调增区间都是(k∈Z)．(×)(6)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．(×)4．求三角函数的最值(7)存在x∈R，使得2sinx＝3.(×)(8)(教材习题改编)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.(√)[感悟·提升]1．一点提醒　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时

3、，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解．2．三个防范　一是函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cosx的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．二是对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(k∈Z)内为增函数，如(6)．三是函数y＝sinx与y＝cosx的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sinx＝，如(7).学生用书第54页考点一　三角函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y＝的定义域为________．(2)当x∈时，函数y

4、＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．解析　(1)法一　要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为.法三　sinx－cosx＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.所

5、以定义域为.(2)y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sin2x－sinx＋1，令sinx＝t∈，∴y＝2t2－t＋1＝22＋，t∈，∴ymin＝，ymax＝2.答案　(1)　(2)　2规律方法(1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求．②把形如y＝asinx＋bcosx的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．【训练1】(2014·广州模拟)已知函

6、数f(x)＝，求f(x)的定义域和值域．解　由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为.f(x)＝＝＝＝3cos2x－1.所以f(x)的值域为.考点二　三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】(1)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)．A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称D．函数f(x)在区间上是增函数(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么

7、φ

8、的最小值为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.解析　(1)f(

9、x)＝sin＝－cos2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确，故选C.(2)由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得

10、φ

11、的最小值为.答案　(1)C　(2)A规律方法(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的