巴特沃斯滤波器设计

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1、鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案二、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为（5-8）其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，为归一化低通截止频率,。式中N为整数，是滤波器的阶次。N=4N=10N=210.707图5-5巴特沃斯低通滤波器的振幅特性巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图5-5所示。滤波器的特性完全由其阶数N决定。

2、当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由（5-8）式决定了在处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图5-5所示。设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为，归一化传递函数为，其中，则由（5-6）式和（5-8）式得：由于1图5-6巴特沃斯低通滤波器指标（5-9）所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标：通带截止频率；：通带衰减，单位：dB；：阻带起始频率；：阻带衰减，单位：d

3、B。说明：（1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；即鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案（2）当时为通常意义上的截止频率。（3）在滤波器设计中常选用归一化的频率，即2、巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求，，，确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。（1）将实际频率归一化得，，再根据已知的，，幅度平方函数确定C和N。（2）求C和N由并带入，，，得即因为，所以由两边取对数得：其中这样可以求出C和N。鞍山科技大学电信

4、学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案注意：当时，，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。由于由，解得极点为：将p左半平面的极点赋予即其中为了便于设计，工程上已将当时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表5-1所示。在表5-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。表5-1归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表阶次归一化系统函数12345（4）去掉归一化影响上面设计中采用归一化的频率即，而实际中截止频率为，所以要进行如下的变量代换：即综上，归纳出

5、设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案（1）计算归一化频率，。（2）根据设计要求按照和其中计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意当时C=1。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数；（4）令中的得到截止频率为的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。例5-2已知滤波器的3dB截止频率为50Hz，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波器的实现方案。解：根据题义，滤波器设计指标为：截止频率；阶数N=2；查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为：rad/s，代入得：例5-3试设计

6、一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率，通带最大衰减，阻带起始频率，阻带最小衰减。解：已知，，，（1）计算归一化频率，。（2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N及C则鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案选择N=5。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数；（4）去掉归一化影响三、切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计0N为奇数(a)10N为偶数(b)1图5-7切比雪夫I型滤波器的振幅特性（a）N=3，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性（b）N=4，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性0N为奇数(a)10N

7、为偶数(b)1图5-8切比雪夫II型滤波器的振幅特性巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器

8、。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图5-7和图5-8分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。鞍山科技大学电信学院电子教研室第五章IIR数字滤波器设计电子教案