2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的再认识学案北师大版必修2

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1、2017-2018学年高中数学必修2学案第1课时　柱、锥、台的侧面展开与面积[核心必知]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图的形状侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧＝2πrl圆锥扇形S圆锥侧＝πrl圆台扇环S圆台侧＝π(r1＋r2)l　其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下底面半径．2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝c·h正棱锥S正棱锥侧＝c·h′正棱台S正棱台侧＝(c＋c′)·h′其中c′，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h′表示斜高．[问题思考]1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否

2、确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c′＝c，可以得到柱体的侧面积公式，令c′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S柱侧＝ch′c＝c′,S台侧＝(c＋c′)h′S锥侧＝ch′.3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？502017-2018学年高中数学必修2学案提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的

3、一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．讲一讲1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(　　)A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为(　　)A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．1∶4[尝试解答]　(1)选C　圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.

4、①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选C　如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．∵O1为PO2的中点，∴＝＝＝，∴PA＝AB，O2B＝2O1A.∵S圆锥侧＝×2π·O1A·PA，502017-2018学年高中数学必修2学案S圆台侧＝×2π·(O1A＋O2B)·AB，∴＝＝.1．求柱、锥、台的表面积(或全

5、面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和．2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．练一练1．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20(cm)，同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr＝π(10＋20)×20＋

6、π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.讲一讲2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面积．[尝试解答]　如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8cm和18cm，腰长为13cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BE＝CF.502017-2018学年高中数学必修2学案∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，∴BF＝＝＝13.∴BE＝BF－AD＝13－8＝5.又AB＝13，∴AE＝12.∴S四边形ABCD＝(

7、AD＋BC)·AE＝×(18＋8)×12＝156(cm2)．故其侧面积为156×5＝780(cm2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．练一练2．已知正三棱锥VABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，取BC的中点D，连接VD，则VD＝＝＝，∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S