1.3.4以正方形为载体的中考综合题

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1、§1.3.4以正方形为载体的中考试题——研究课班级________姓名____________正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中考的热点,与它有关的中考题经常出现.正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.方法迁移类：1.(11济宁)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边D

2、C于M，交边AB的延长线于N.当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：＝，因为DE＝EP，所以DF＝FC.可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值.(1)请按照小明的思路写出求解过程.(2)小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.图1图2-15-§1.3.4正方形综合题2.(11永州)探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC

3、边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，图①∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+

4、BF=EF．⑵方法迁移：如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，图②且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．图③-15-§1.3.4正方形综合题图13.(10绍兴)(1)如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.图2

5、(2)如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的长.(3)已知点E、H、F,、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).图4图3-15-§1.3.4正方形综合题4.(10无锡)（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一

6、点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1

7、）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）类似题型(10黄冈)如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.-15-§1.3.4正方形综合题5.(11舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，

8、我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3