矩阵分析试卷2009(答案)

《矩阵分析试卷2009(答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、试卷编号命题人：吴明芬　审批人：试卷分类（A卷或B卷）A五邑大学试卷学期：2009至2010学年度第一　学期课程：矩阵分析专业：2009级电子、模式、交通、机械研究生　班级：　　姓名：　　学号：　题号一二三四五六七八九十总分得分得分一、　　　　　　　在中，定义，则是否是上的线性变换？如果是求出在某一基下的矩阵，并求的核与值域。（16分）解：1），则有，所以是上的线性变换。2）取的一组基，则，所以，故在该基下的矩阵为A，。3）的值域为向量生成的子空间。4）的核==，线性方程组第6页共6页的基础解系为故的核是。得分二、（12分）设是欧氏空间V中一单位向量，定义，证明是正交变

2、换。解：，有；；得分三、证明对任意的矩阵，若定义，则

3、

4、

5、

6、是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。（12分）证明：由定义显然知（1）；（2）（3）设则（4）设则第6页共6页所以

7、

8、。

9、

10、是矩阵范数下面说明它不是算子范数。如果它是算子范数，则存在某个向量范数，使得，但是对单位矩阵而言，左边

11、

12、E

13、

14、=n，右边=1，矛盾。得分四、（10分）设是齐次线性方程组的解空间，是的解空间。则作为欧氏空间（内积为通常内积）的子空间是正交的，且证明：的一组基为。的一组基为。由于个向量是两两正交的非零向量组，故他们线性无关。所以，且，所以。得分五、求矩阵的Jordan

15、标准形。（10分）解：第6页共6页得分六、利用系数矩阵的LU分解求解下面方程组，写出矩阵L，U。（10分）解：，那么，原方程组与方程组同解，解之得得分七、设是一个n维欧氏空间，是中的一个固定向量，（1）证明是的一个子空间；（2）证明的维数等于n—1。（10分）证明：（1），则有，所以是的子空间。（2）设将扩展为V的一组标准正交基，记为，则。另一方面则且。所以，从而，所以，则，于是，综上所述得分八、第6页共6页求微分方程组满足初始条件的解。（16分）解：，，设，得，，，，得分附加题12分复数域C是实数域R上的2维线性空间.试定义C上的一个内积,使得1与成为C的一个标准正交

16、基；并求的长度.解：对任意xj+yjiÎC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要<1,1+i>=0，<1+i,1+i>=1，<1,1>=1,必要且只要=(x1-y1)(x2-y2)+y1y2.第6页共6页上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于[(x-y)2+y2]1/2，因此1－i的长度为51/2.第6页共6页