2019年高考数学(理)一轮复习不等式选讲 第2节 不等式的证明学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第二节　不等式的证明[考纲传真]　(教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．(对应学生用书第206页)[基础知识填充]1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．柯西不等式(1

2、)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

3、α

4、

5、β

6、≥

7、α·β

8、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，

9、n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．(1)比较法：①比差法的依据是：a－b>0⇔a>b步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．②比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1.(2)综合法与分析法：8北师大版2019届高考数学一轮复习学案①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证

10、明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　)(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　)(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　)(4)使用反证法时，“反

11、设”不能作为推理的条件应用．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)A．x＞y　　　　　　　B．x＜yC．x≥yD．x≤yA　[x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]3．若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．c>a>bA　[“分子”有理化得a＝，b＝，c＝，所以a>b>c.]4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小

12、值是________.【导学号：79140398】4　[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，8北师大版2019届高考数学一轮复习学案所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立．]5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.[证明]　因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.(对应学生用书第207页)比较法证明不等式　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.[证明]　法一：∵－(＋)＝＋＝＋＝＝≥0，∴＋≥＋.法二：由于＝＝＝

13、－1≥－1＝1.又a＞0，b＞0，＞0，8北师大版2019届高考数学一轮复习学案∴＋≥＋.[规律方法]　作差比较法证明不等式的步骤：(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与“1”的大小.[跟踪训练]　(2018·临川一中)设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．[证明]　因为a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b

14、2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.又a≠b，所以(a－b)4>0，所以a4