高数下册知识点15861

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1、高等数学（下）知识点第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：，图形：3、极限：4、连续：5、偏导数：6、方向导数：其中为的方向角。7、梯度：，则。8、全微分：设，则（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：第15页共15页高等数学（下）知识点偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122341、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）2、微分法1）定义：2）复合函数求导：链式法则若，则，3）隐函数求

2、导：两边求偏导，然后解方程（组）（一）应用1、极值1）无条件极值：求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，①若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；第15页共15页高等数学（下）知识点①若，函数没有极值；②若，不定。1）条件极值：求函数在条件下的极值令：———Lagrange函数解方程组2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第十章重积分（一）二重积分第15页共15页高等数学（下）知识点1、定义：2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体

3、的体积。4、计算：1）直角坐标，，2）极坐标（一）三重积分1、定义：2、性质：3、计算：第15页共15页高等数学（下）知识点1）直角坐标-------------“先一后二”-------------“先二后一”2）柱面坐标，3）球面坐标（二）应用曲面的面积：第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、性质：第15页共15页高等数学（下）知识点1）2）3）在上，若，则4）(l为曲线弧L的长度)1、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（一）对坐标的曲线积分1、定义：设L为面内从A到B的一条有向光滑弧，函数，在L上

4、有界，定义，.向量形式：2、性质：用表示的反向弧,则3、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为第15页共15页高等数学（下）知识点，其中在上具有一阶连续导数，且，则1、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则.（一）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数在D上具有连续一阶偏导数,则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分在内与路径无关曲线积分在内为某一个函数的全微分（二）对面积的曲面积分1、定义：第15页共15页高等数学（下）知识点设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定

5、义1、计算：———“一单二投三代入”，，则（一）对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义同理，3、性质：1），则2）表示与取相反侧的有向曲面,则4、计算：——“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，第15页共15页高等数学（下）知识点在上连续，则,为上侧取“+”，为下侧取“-”.1、两类曲面积分之间的关系：其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。（一）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有或2、通量与散度通量：向量场通

6、过曲面指定侧的通量为：散度：（二）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面S的边界G是分段光滑曲线,S的侧与G的正向符合右手法则,在包含å在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有第15页共15页高等数学（下）知识点为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:1、环流量与旋度环流量：向量场沿着有向闭曲线G的环流量为旋度：第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散第15页共15页高等数学（下）知识点3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。1、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；

7、2）级数，收敛，则收敛；3）级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）2、审敛法正项级数：，1）定义：存在；2）收敛有界；3）比较审敛法：，为正项级数，且若收敛，则收敛；若发散，则发散.4）比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散.第15页共15页高等数学（下）知识点1）比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.2）比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.3