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1、泛函分析若干基本概念的理解126高等数学研究STTjDIESINC0LLEGEMATHEMATICSVo1.13.No.1Jan.,2010泛函分析若干基本概念的理解傅中志(河海大学水利水电工程学院,南京,210098)摘要本文结合工程问题对线性算子,算子的三种收敛性等泛函分析中若干基本概念进行了直观化的理解,分别阐述了共轭算子在经济学中的含义及相伴算子在力学中的含义,通过将泛函分析中的基本概念还原到具体学科中加深了对概念的理解.关键词泛函分析;线性算子;收敛性;共轭算子;相伴算子.中图分类号0177"泛函分析
2、"是一门高度抽象,高度概括的数学基础课,是现代数学分析的重要基础,因其在微分方程,积分方程,变分法,量子力学等领域有广泛的应用,国内大多数理工科院校将其作为非数学专业博士课程开设.但是,由于这门课程的高度抽象性,往往使不少初学者在诸多抽象概念和缺乏直观意义的定理面前望而却步.笔者认为将泛函分析的基本概念和工程或生活实际结合起来,对于这门课程的学习有很多益处,不但能够加深对概念本身的理解,同时还能激发学习兴趣,开拓研究思路.基于上述认识,笔者在学习"泛函分析"过程中,对若干概念进行了探讨,形成本文内容,详述于下.
3、1空间与算子这部分内容将结合工程问题而讨论,首先给出工程问题的一般模型[1],如图1所示.根据模型中的已知项和待求项,可以将工程问题分为3种基本类型:(1)已知输入和模型,求解输出,这就是所谓工程正问题;(2)已知输出和模型,反求输入,这就是所谓工程反问题;(3)已知输入和输出,求解模型,即所谓模型辨识问题,试验资料基础上的建模过程也应划人此类.圈圜圈图1工程问题的一般模型从空间中定义距离的必要性开始,以空间y为例,假设根据某一输入值(如试验得到的一组材料参数)∈X,根据特定模型(算子丁)得到输出的预测值为Y=
4、Tx,而通过实测得到的真实输出为Y,一收稿日期:2008一O2～23.作者简介:傅中志(1984一),男,江苏南京人,在读博士研究生,研究方向为水工结构工程.E—mail:fu—zhongzhi@hhu.cdu.cn个重要的问题就是,如何定量计算模型预测的误差,用以评价模型的优劣.这个问题自然要求在空间y中定义描述两个元素差异的距离概念.不同的问题定义的距离往往是不同的.如金属加热后达到的温度分布p(x,Y,z)符合预期分布P(z,Y,z)是指每一点的温度分布与预期分布的差异都小于某足够小的正数e,即maxlp
5、(x,Y,)一P(,,z)I≤￡.再如,在自动控制理论中,考察一段信号z(t)与另一段信号X.()之间的差别,常常转化为考虑两段信号的能量差,即rzIEx(r)一z(r)].dJO定义距离最简单和最重要的途径就是引进范数,而引进范数的线性空间就是赋范线性空间.在一个空间上定义了距离后,接下来就产生了空间关于所定义的距离是否完备的问题,为了说明完备空间的基本哲学思想,这里以实数空间为例来讨论.以量测一根杆的长度为例,尽管每一次读数都只能精确到小数点后的若干位(某个有理数),但是为了表达人类认识能力的至上性,也就是
6、说量测精度的提高是无限的这一基本事实,我们必须引入无理数来表示一串有理数的极限,假如没有无理数的概念,我们的测量精确程度就受到了限制.有理数空间是不完备的,这意味着该空间中存在一种可望而不可及的状态.一方面,我们承认对杆的量测可以无限接近它的真实长度;另一方面,我们又承认可能永远不能测量出杆的真实长度.从认识论角度来讲,这是不彻底的可知论,甚至是一种不可知论的科学态度.而在完备的实数空间中,其中元素不但可望而且可及,这是一种彻底的可知论的科学态度,正因为此,对于不完备的空间需要将其完备化.在工程问题中,往往所考
7、虑的影响因素非常多,以混凝土大坝的位移和应力为例,其影响因素包括水第13卷第1期傅中志:泛函分析若干基本概念的理解127压力,温度,时效等.这些因素同时作用时大坝的位移分布和应力分布难以直接计算,在这种情况下,解决问题的思路是分别计算水压力,温度和时效对大坝位移分布和应力分布的贡献,然后将其叠加起来.这里我们自觉地利用了线性空间和线性算子的概念.线性算子的概念无非就是说将某个复杂因素分解成若干因素分别考虑,然后叠加起来的效果等同于直接考虑这个复杂因素.这里给出线性算子丁的定义如下[2]:Vz1,X2∈X,Vk1
8、,k2∈K,T五十kzxD—k1T(x1)+岛了).(1)引入线性算子后,遇到的泛函分析中的第一个抽象概念就是算子范数.在阐述其直观意义前,首先给出算子范数的严密的数学定义fI,r一【IIITll—sup一∈x,≠llzIlSUpIIIf_(2)∈X,ⅡH.1''..假设输人空间X中的元素X是通过量测得到的,而被量测对象的真实值为X.,改写(2)得I1TlI=sup二.(3)z∈tx~
