恒 成 立 问 题 三

《恒 成 立 问 题 三》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、恒成立问题“恒成立”问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点.一、恒成立问题常见的题型1.由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围2.证明不等式恒成立二、解决恒成立问题常用的方法1.函数性质法（1）一次函数：给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ），亦可合并成，如图1所示.同理，若在内恒有，则有.图1【例1】（2007年·

2、辽宁卷·文22)已知函数，，且对任意的实数均有，.(Ⅰ)求函数的解析式；第9页共9页(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围.〖解析〗(Ⅰ)略（Ⅱ）由(Ⅰ)，所以.令，则即.由于，则有.解得.（2）二次函数：给定二次函数，若大于0恒成立，则有，如图2所示.（注：恒成立）图2若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【例2】（2007年·江苏卷9)已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）A．B．C．D．第9页共9页〖解析〗由题意知.所以（当且仅当时取“=”号）.【例3】（2007年·重庆卷·理13)若函数的定义域为，则的取值范围为．〖

3、解析〗已知函数的定义域为，即在恒成立，也即恒成立，所以有.解得.【例4】（2007年·陕西卷·理20）设函数，其中为实数.(Ⅰ)若的定义域为,求的取值范围；(Ⅱ)当的定义域为时，求的单减区间.〖解析〗(Ⅰ)（解法同例3）(Ⅱ)略（3）其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）.【例5】（2007年·山东卷·理22)设函数,其中.(Ⅰ)当，判断函数在定义域上的单调性；(Ⅱ)求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数,不等式)都成立.〖解析〗(Ⅰ)、（Ⅱ）略（III）当时，.令，则在第9页共9页上恒正，∴在上单调递增，当

4、时，恒有.即当时，有.对任意正整数，取得.【例6】（2007年·重庆卷·理20)已知函数在处取得极值，其中、为常数.（Ⅰ）试确定、的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.〖解析〗(Ⅰ)、（Ⅱ）略（III）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.所以的取值范围为.【例7】（2007年·浙江卷·理22)设，对任意实数，记.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：①当时，对任意正实数成立；②有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立.〖解析〗(Ⅰ)略（Ⅱ）①令，则，当时，由得.第9页共9页当时，；当时，.所以在内的最小值

5、是.故当时，对任意正实数成立.【例8】（2007年·福建卷·理22)已知函数，.（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（III）设函数，求证：.〖解析〗(Ⅰ)、（III）略（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：第9页共9页单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又,∴．综合①，②得，实数的取值范围是．【例9】（2007年·安徽卷·理18)设，（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有．〖解析〗(Ⅰ)略（Ⅱ）证明：由知，

6、的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．（4）函数的奇偶性、周期性：为奇函数恒成立；为偶函数恒成立；为周期函数恒成立.【例10】（2007年·宁夏卷·理14)设函数为奇函数，则．第9页共9页〖解析〗因为函数为奇函数，所以恒成立，即恒成立恒成立恒成立，故．2.分离参数法将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或或恒成立的形式.则恒成立的范围是的值域；恒成立；恒成立.若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函

7、数的最值问题求解.【例11】（2007年·山东卷·文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是.〖解析〗当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以，∴.【例12】（2007年·江西卷·理12)设在内单调递增，，则是的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件〖解析〗由题意知在恒成立，则对任意的恒成立.第9页共9页∵时，，∴的最大值要小于-5，不妨设为，∴不可能推出，但由可推出.故答案B正确.【例13