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《西点课业--初中数学竞赛辅导资料--勾股定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、初中数学竞赛辅导资料（31）勾股定理甲内容提要1.勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠a2＋b2=c22.勾股定理及逆定理的应用①作已知线段a的，，……倍②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。3.勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4.勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。②如果k是大于1的奇数，那么k,,
2、是一组勾股数。③如果k是大于2的偶数，那么k,,是一组勾股数。④如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。5.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。乙例题例1.已知线段a a a 2a 3aa 求作线段a a 分析一：a＝＝2a ∴a是以2a和a为两条直角边的直角三
3、角形的斜边。分析二：a＝102∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2求对角线AC的长 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30 ∴CE＝2CD＝4， 在Rt△ABE中 设AB为x,则AE＝2x
4、 根据勾股定理x2+52=(2x)2,x2= 在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C∴AD＝BD＝BC 作BM⊥AC于M，则CM＝DM AB2－BC2＝（B
5、M2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b,c,m,n 则c+n=b+m,c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AD2
6、＝c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b) (c+b)(c-b)－(m+n)(c-b)＝0(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0∵c+b>m+n,∴c-b=0即c=b∴AB＝AC102例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC求证：AC＞BD证明：作D
7、E∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF 作DH⊥AB于H，根据勾股定理 AH＝，FH＝ ∵AD＞BC，AD＞DF ∴AH＞FH，EH＞BH DE＝，BD＝∴DE＞BD即AC＞BD例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接
8、于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝ 求：的值 （2001年希望杯数学邀请赛，初二）
