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《线性代数_北京邮电大学出版社(戴斌祥_主编)习题答案(3、4、5)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数_北京邮电大学出版社(戴斌祥_主编)习题答案(3、4、5)(1)??(?1,0,3,?5),??(4,?2,0,1);?313??3?2(2)???,?,,?1?,????,?2,3,?.343??2??2【解】(1)??,???(?1)?4?0?(?2)?3?0?(?5)?1??932?????1?(2)??,?????3???3??(?2)?????3???(?1)?043?3??2??2?2.把下列向量单位化.(1)?＝（3，0，－1，4）；(2)【解】?＝（5，1，－2，0）.(1)e?aaa??a,a
2、??32?02?(?1)2?42?26?e?(2)a?e?aa?14?1?3,0,,?(3,0,?1,4)???;26262626???a,a??25?1?4?0?30?1?2?1?5,,,0?.(5,1,?2,0)??30?303030?3.在R4中求一个单位向量,使它与以下三个向量都正交:α1=(1,1,-1,1),α2=(1,-1,-1,1),α3=(2,1,1,3).解：设向量a=(x1,x2,x3,x4)与a1,a2,a3都正交，则55?x1?x2?x3?x4?0?x1?4x3??令x3=1得a=(4,0,1
3、,-3)?x1?x2?x3?x4?0得：?x2?0?2x?x?x?3x?0?x??3x34?123?4单位化可得单位向量为?1(4,0,1,?3).264.利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.(1)?1=(0，1，1)′,?2=(1,1,0)′,?3=(1,0,1)′;(2)?1=(1,0,?1,1),?2=(1,?1,0,1),?3=(?1,1,1,0)【解】(1)?1??1?(0,1,1)?,?2,?1??111????2??2??1?(1,1,0)??(0,1,1)???1,,??,2?22???1,?1??
4、3,?1??3,?2????222???3??3??1??2??,?,?;?333???1,?1???2,?2?(2)?1??1?(1,0,?1,1)?,?2,?1??221???1???2??2??1?(1,?1,0,1)?(1,0,?1,1)??,?1,,?,3?,?33??3?11??3,?1??3,?2????1334???3??3??1??2???,,,?.?5555???1,?1???2,?2?5.试证，若n维向量?与?正交，则对于任意实数k，l，有k?与l?正交.【证】?与?正交???,???0.?k,l
5、?R.∴k?与l?正交.6.下列矩阵是否为正交矩阵.(k?,l?)?kl??,???0??1?1(1)???2??1??3?121121??1013???2?10?11?;(2)?2?0102???0?10??1??0?0??.1??1?【解】55(1)A′A≠E,∴A不是正交矩阵(2)A′A=E?A为正交矩阵7.设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.【证】H?E?2xx?H?(E?2xx?)??E??2(xx?)??E?2(xx?)?H∴H为对称矩阵.H?H?(E?2xx?)(E?
6、2xx?)?E2?2E(xx?)?2(xx?)E?4(xx?)(xx?)?E2?4(xx?)?4x(xx?)x??E∴H是对称正交矩阵.8.设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.【证】A与B为n阶正交矩阵?A′A=EB′B=E(AB)(AB)′=AB(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E∴AB也是正交矩阵.9.判断下列命题是否正确.(1)满足Ax＝?x的x一定是A的特征向量；(2)如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值?的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于?的特征向量；(3
7、)实矩阵的特征值一定是实数.【解】(1)╳.Ax=?x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.55?1???1?????(2)╳.例如：E3×3x=?x特征值?=1,?的特征向量有2,?2??????3?????3???1???1??0??0?????????则2??2?0,0不是E3×3的特征向量.??????????3?????3????0????0??(3)╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.10.求下列矩阵的特征值和特征向量.?2?3?(1)?,???31??2?20?(3)??21?2?,???
8、?0?20??【解】(1)?6(2)?2???4?2?0(4)??0??024?,32??26??3?1?4??1?21??.12?2??112?3?E?A???当????23??1?(??2)(??1)?9?0??2?3??7?03?37.23?37时，2??1?37?2(?E?A)x?0为??3????37?1?3??x1??
