09-标量衍射理论1-光波的数学描述

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1、第二章标量衍射的角谱理论ScalarAngle-SpectrumTheoryofDiffraction光场随时间的变化关系:由频率n表征.单色光场中某点P(x,y,z)在时刻t的光振动可表为:u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]振幅频率初位相可见光:n~1014Hz严格单色光:n为常数光场随空间的变化关系体现在:(1)空间各点的振幅可能不同(2)空间各点的初位相可能不同,由传播引起.光场变化的空间周期为l.光场变化的时间周期为1/n.由于u(P,t)必须满足波动方程，可以导出a(P)、n、j(P)必须满足的关系§2-1光波的数学描

2、述1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程§2-1光波的数学描述光振动的复振幅表示光场随时间的变化e-j2pnt不重要:u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]}=e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,无法探测n为常数,线性运算后亦不变对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.故引入复振幅U(P):为了导出a(P)、n、j(P)必须满足的关系，将光场用复数表示,以利于简化运算=e{a(P)ejj(P).e-j2pnt}复数表示有利于将时空变量分开U(P)=a(P)ejj(P)则u(P,t)=e{U(P)e-j2

3、pnt}§2-1光波的数学描述亥姆霍兹（Helmholtz)方程可导出复振幅满足的方程为：将U(P)exp(j2pnt)代入波动方程即亥姆霍兹（Helmholtz)方程-—不含时间的波动方程称为波数或传播常数，表示单位长度上产生的相位变化在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。§2-1光波的数学描述光振动的复振幅表示:说明U(P)是空间点的复函数,描写光场的空间分布,与时间无关;U(P)=a(P)ejj(P)U(P)同时表征了空间各点的振幅

4、U(P)

5、=

6、a(P

7、)

8、和相对位相arg(U)=j(P)方便运算,满足叠加原理实际物理量是实量.要恢复为真实光振动:光强分布:I=UU*光强是波印廷矢量的时间平均值,正比于电场振幅的平方u(P,t)=e{U(P)exp(-j2pnt)}即可§2-1光波的数学描述2、球面波的复振幅表示点光源或会聚中心球面波:等相面为球面,且所有等相面有共同中心的波k=

9、k

10、=2p/l,为波数.表示由于波传播,在单位长度上引起的位相变化,也表明了光场变化的“空间频率”(P(x,y,z))0zyx源点S(rk设观察点P(x,y,z)与发散球面波中心的距离为r,k:传播矢量球面波的等位

11、相面:kr=c为球面则P点处的复振幅:j(P)=k.rk:传播矢量球面波:k//ra0:单位距离处的光振幅§2-1光波的数学描述会聚球面波会聚球面波(P(x,y,z))会聚点S(r0zyxk§2-1光波的数学描述球面波:空间分布距离r的表达若球面波中心在原点:若球面波中心在S(x0,y0,z0):P点处的复振幅:取决于k与r是平行还是反平行光波的数学描述球面波:在给定平面的分布以系统的光轴为z轴,光沿z轴正方向传播.所考察的平面垂直于z轴令点光源位于z=0的平面上坐标(x0,y0)处.考察与其距离为z的x-y平面上的光分布需要作近轴近似z光波的

12、数学描述球面波:近轴近似只考虑x-y平面上对源点S张角不大的范围,即可以作泰勒展开(1+D)1/21+D/2一级近似二级近似对振幅中r的可作一级近似.但因为k很大,对位相中的r须作二级近似§2-1光波的数学描述二、球面波:近轴近似已将球面波中心取在z=0的平面,且光波沿z轴正方向传播.如果z>0,上式代表从S发散的球面波.如果z<0,上式代表向S会聚的球面波.对给定平面是常量随x,y变化的二次位相因子球面波特征位相球面波中心在原点:x-y平面上等位相线方程为:光波的数学描述3、平面波的复振幅表示等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量k.等

13、相平面的法线方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦均为常量光波的数学描述3、平面波的复振幅表示等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量k.等相平面的法线方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均为常量以k表示的等相平面方程为k.r=const.故平面波复振幅表达式为:线性位相因子常量振幅光波的数学描述3、平面波:在给定平面的分布在x-y平面上的等位相线xcosa+ycosb=const为平行直线族在与原点相距为z的平面上考察平面波的复振幅:随x,y线性变化的位相因子常数幅相因子,A光波的数学描述4、平面波的

14、空间频率在与原点相距为z的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是平行直线族.为简单计,先看k在x-z平面内:cosb=0等位相面是平行于y轴的一系列平