11厄米算符的本征问题 坐标算符和动量算符

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1、§3-2厄米算符的本征问题一、厄米算符的本征值必为实数二、厄米算符本征函数的正交性三、厄米算符本征函数的完备性§3-2厄米算符的本征问题一、厄米算符的本征值必为实数量子力学假设：一个可观测的力学量总是用一个相应的线性厄米算符来表征。算符的线性是态叠加原理所要求的；算符的厄米性质是力学量的观测值为实数所要求的。以一维断续谱为例，其本征方程为定理：厄米算符的本征值是实数。证明：一方面另一方面所以二、厄米算符本征函数的正交性仍以断续谱为例，即1．讨论无简并的情况定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。证明：一方面另一

2、方面所以如果波函数已归一化，则（正交归一方程）2．讨论有简并的情况如果力学量算符的本征值是度简并的，有个不同的本征函数对应于同一个本征值。即如果没有其它的附加条件，这个简并的波函数的选择并不是唯一的，一般来说，它们也并不是一定正交。但是，总可以把它们重新线性组合，使之满足正交归一化条件。构造一组新的波函数简写为容易证明，它们都是的属于本征值的本征函数。下面介绍一种简单的使波函数正交归一的方法：施密特正交归一化法。总可以选择系数使具有正交、归一性，即首先，选取一个态矢，例如，求出其归一化的表示其次，构造利用与正交的要求此外

3、，还要求归一化，即然后，再构造利用与、正交归一的要求确定系数。如此做下去，直到将全部本征函数变换完毕，就得到一组正交归一化的简并波函数。于是可以求出和，进而得到。例1．已知两个既不正交也不归一的波函数利用施密特方法将其正交归一化，其中，为任意正交归一化基底。解：首先，将归一化利用与正交的条件，得再利用的归一化条件，得取于是然后，构造三、厄米算符本征函数的完备性波函数是描述体系所处状态的，由全部波函数和零函数构成的空间称为态空间。每一个波函数都是态空间中的一个元素，也称为态矢量。态空间中的任意一个态矢量总可以向正交归一的基

4、底作展开，即若在每个处，此无穷级数都收敛到，则称是完备的。虽然，从数学的角度还不能统一地证明基底的这种完备性，但是，在量子力学中，总是认为线性厄米算符的本征函数系是正交归一和完备的。线性厄米算符的作用就是把态空间的一个元素变成另一个元素。线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系，简记为，它可以作为态空间中的一组基底。将代入中，得因为所以此即本征函数的封闭关系。所以展开系数用作用上式两端并对坐标变量积分，得§3-3坐标算符和动量算符一、坐标算符二、动量算符§3-3坐标算符和动量算符在量子力学中，坐标算符和动量算符是两

5、个较为特殊的算符，它们的本征值皆可连续取值，且本征波函数不能归一化，只能规格化为函数。一、坐标算符以一维问题为例，坐标算符满足的本征方程为因为所以规格化三维二、动量算符分离变量有方程的解或规格化