05级普招本科数学与应用数学专业常微分方程试题1参考答...

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1、05级普招本科数学与应用数学专业常微分方程试题1参考答案及评分细则一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、对于初值问题,如果取,则其二次皮卡近似解。2、在区域上关于满足李普希兹条件，其李普希兹常数最好取为。3、微分方程有积分因子。4、曲线族的正交轨线所满足的微分方程为。5、已知方程有解,则可由刘维尔公式求得另一无关解。二、判断题（10分）（本大题共5小题，每题4分，共20分）判断下述结论的正误，正确的在括号中打钩，错误的在括号中打叉。1、对于微分方程,可作变量替换,将其化为变量可分离方程。（√）2、微分方程的奇解为。（×）3、微分方程的通解

2、为。（√）4、方程的通解为。（×）5、如果微分方程组有基解,则。（√）三、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）求证：原点为系统：的中心。证明：：，　　　　　3分　　　　。　　　　　　　　　　　　　5分　　因为特征根为共轭纯虚根，　　　　　　　　　8分所以，原点为中心。　　　　　　10分四、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)1、（10分）设曲线上任一点的法线、向径与x轴构成等腰三角形（以法线为底边），求曲线。解：设，过的法线方程为　　　　1分　　　　　　。　　　　　　　　3分　　易知，与轴交于。　　　　　　　5分由题设，，即，　　

3、　　　　　7分化简得，或，　　　8分，，9分化简得　　　　　　　　　　　　　　　　10分2、（10分））求解微分方程。解：原方程可变形为　　　　4分积分得，即，　　　　7分这是以为未知函数的一阶线性微分方程，8分其通解为　　　　　　　　10分3、（10分）求解微分方程。解：　　，　　　　　　　2分　　齐次方程的基解为　。　　　　　4分　　因为，不是特征根，，不是特征根，，6分所以，可设特解，代入原方程解得　　　　7分　　，　9分故通解为。　　　10分4、（10分）用拉普拉斯变换求解初值问题。解：2分，　　4分，6分8分。　10分5、（10分）求解常系数线

4、性微分方程组。解：两式相加得，2分　　　　　　，　4分二倍第一式加第二式得，　　　6分　　　　　　，8分故通解为　或　。10分注：若只求出齐次通解给7分。