2016年竞赛与自主招生专题第十二讲立体几何

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1、2016年竞赛与自主招生专题第十二讲立体几何从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，立体几何是高中数学中具有联结和支撑作用的主干知识，它既是中学数学的重要内容，又是学习高等数学的必要基础，因而是高考数学与高校自主招生命题的主要板块之一。立体几

2、何问题大致可以分为两大类：一是空间几何的结构特征、简单几何体的表面积和体积的计算方法，如旋转体的体积和表面积，割补定理等；二是从构成空间几何体的基本元素——点、线、面人手研究它们的性质以及相互之间的位置关系等，如线、面之间的垂直于平行的位置判断与证明等。一、知识精讲一．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直；（4）转化为该线与形成射影的斜线垂直.二．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4

3、）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.三．空间的线线平行或垂直：设，，则：1.平行：；2.垂直：.20四．夹角公式：设＝，＝，则.推论，此即三维柯西不等式.五．异面直线所成角：=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）六．直线与平面所成角：(为平面的法向量).七．二面角的平面角：或（，为平面，的法向量）八．空间两点间的距离公式：若，，则=.九．点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.十．柱体、锥体的体积：1.柱体：（是柱体的底面积、是柱体的高）2.椎体：（是锥体的底面积、是锥体的高）十一．长度为的

4、线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.十二．球的表面积和体积公式：1.球的表面积公式：（为球的半径）2.球的体积公式：（为球的半径）20一．空间余弦定理如图，平面、相交于直线l。为l上两点，射线在平面内，射线在平面内。已知，且都是锐角，是二面角的平面角，则。►证明：在平面中，过作的垂线，交射线于点。在平面中，过作的垂线，交射线于点。设，则，，并且就是二面角的平面角。在与中，利用余弦定理，可得等式，所以，故二．射影面积公式：在二面角的一个半平面上的任意凸多边形的面积为，此多边形的另一个半平面上射影多边形的面积为，又二面角的平面角度数为，则。三．欧拉

5、公式：►欧拉公式：设、和分别表示凸多边形体面、棱（或边）、顶点的个数，则。20利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体。事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是（面数）与的积的一半，即。①同时，应是（顶点数）与的积的一半，即。②由①、②，，代入欧拉公式中，有。由于故。显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3.当时，易得；同理，时，。综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体；时，即正十二面体；时，即正二十面体。四．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被

6、平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。三、典例精讲例1．（2011“华约”）两条异面直线互成，过空间中任一点A可以作出（）平面与两异面直线都成角。（A）一个（B）两个（C）三个（D）四个►答案B►分析与解答：如图，将异面直线平移到A点，记此时两条直线为，成，所确定的平面为，令分别为的两条角平分线。则与所成角相等的平面必经过或。而过与所成角的最大值为。这种情况不合要求。过的平面与所成角的范围为，绕l适当转动平面，并由对称性知，符合要求的平面有且仅有两个。20例2．（2011“卓越联盟”）在正方体中，E为棱的中点，F是棱上

7、的点，且，则异面直线EF与所成角的正弦值为（）。（A）（B）（C）（D）►答案B►分析与解答：如图，取中点G，连结FG，则EF与所成角即为。不妨设正方体棱长为1，则，。。例3．（2010复旦）设是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面的中心点，则P到侧面的对角线的距离是（）。（A）（B）（C）（D）►答案C20►分析与解答：在中，过作，垂足H。，则由余弦定理知，从而，所以。例4．（2012“卓越联盟”）直角梯形中，，，面垂直于底面。（1）求证：面垂直于面；（2）若，求二面角的正切值。►分析与解答：（1）由于平面平面，且面，而，