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《应用数学基础下册(第第十九章多元函数积分学基础（可编辑）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、应用数学基础下册(第第十九章多元函数积分学基础第七章多元函数积分学一本章内容小结二常见问题分类及解法三思考题四课堂练习一本章内容小结一、主要内容1、二重积分的概念与性质。2、二重积分在直角坐标系下与在极坐标系下的计算方法。3、二重积分的应用。*4、曲线积分的概念、性质,对弧长曲线积分与对坐标曲线积分的计算方法、格林公式。二、本章的重点二重积分的计算。三、对学习的建议1、二重积分是本章的重点内容。曲线积分可根据学时数及专业的要求选学。关于本章的概念,应理解二重积分、曲线积分都与定积分一样,都属于特殊的和式极限问题。2、重积分的几何意义当fx
2、,y0时,二重积分fx,yd表示以平面区?D域D为底,以曲面zfx,y为顶的曲顶柱体的体积。当fx,y?1时,d就等于平面区域D的面积。?D3、在直角坐标系下化二重积分为二次积分关键在于选择积分次序和确定积分限,注意选择适当的积分次序使积分易于计算。4、在极坐标系下计算二重积分的要点是1根据变换式xrcos?,yrsin?,把积分区域D的边界曲线用极坐标表示;并把被积表达式写成frcos?,rsinrdrd?;2用不等式表示积分区域,根据区域的特点选用相应计算公式把二重积分化成关于r,的二重积分,一般总是先对r积分后对积分。5、在计算二重
3、积分时,当积分区域关于坐标轴具有对称性,且函数具有奇、偶性时,应先简化再计算。6、对弧长的曲线积分与积分路线的方向无关,对坐标曲线积分与积分路线的方向有关,如果积分路线反向,则积分值反号。7、在计算沿封闭曲线的对坐标的曲线积分时,应先考查在包含积分曲线C的单连通区域内,被积函数是否满足积分与路径无关的条件,如果满足则积分为零;如果不满足,再选择适当的计算方法计算。四、本章关键词二重积分曲线积分取一点y,过点y作平行于x轴的直线自左至右交D的左边界和右边界于两点,其横坐标分别为y,y,这就12是对x积分的下限和上限.若交点的横坐标表达形式与
4、点y的位置有关,则D需分割积分次序的确定和积分区域D的形状有关,但实际应用时也需考察两次定积分的难易甚至按某种次序积不出而定.③从内到外依次计算两个定积分。2x例1计算二重积分Id其中D是由x2,yx2?yD1及双曲线y围成的区域。x画出D如图19-3所示.y将D投影到x轴上,解法一2得到投影闭区间[1,2],任取yxx?1,2,过点x作和y轴平行1的直线交D的下边界和上边界于11y12x两点,其纵坐标为,x.xxO1222x2x93Idxdyxxdx;21图19-3例1积分区域Dy411x11将D投影到y轴上,得,2,任取y,2,解法二
5、221过点y作平行于x轴的直线,当y?1时,从左至右交21D的边界于两点,横坐标为和2.当1y2时,从左至y右交D的边界于两点横坐标为y和2.表达形式不一样,则需分割D,用直线y?1将D分为上下两部分:D,D1222xxdxdydxdyI22yyDD12222212xxdydxdydx2211yy1y2y218y?88dy?dy2251?13y33y3y29.4例2计算二重积分Ifx,ydxdy。其中D是由曲线?D2yy?1x,y?1,ylnx所围成。解画出D的图形如图19-4所示.1观察积分区域D,若先对y2y?1xylnx积分后对x积
6、分,需将D分成左右两部分.xO1选择先对x积分,后对y图19-4例2积分区域D积分.将D向y轴投影,得到投影闭区间[0,1],任取y?0,1,过点y作平行于x轴的直y线,从左至右交D的边界于两点,横坐标为1y,ey1eIdyfx,ydx01y1x1sinxsinx2Idxdyxxdx2x0x0x1sinxxsinxdx?1sin1?0二、改换二重积分的积分次序若已知以某种次序积分的二重积分,改变积分次序步骤如下。①根据已给累次积分的上限、下限列出不等式,据此,画出积分区域D的图形.②将D投影到某个坐标轴,使之将来的二次积分次序与已知的不同
7、.③将二重积分化为另一种次序的二次积分.1x22x例4改变二重积分dxfx,ydydxfx,ydy的0010积分次序。y由已知得解0x?11x2?,y2xyx?0yx0y2x?画出D如图19-6所示.O12x将D投影到y轴得到图19-6例4积分区域D投影闭区间[0,1],任取y?0,1,过点y平行于x轴的直线自左至右交D的边界于两点,其12y横坐标为y和2y于是Idyfx,ydx积分次序?0y得到改变.?11?4y22对于D,0y2,Idyfx,ydx;11?0y?1?11?4y012对于D,?y0,Idyfx,ydx22?11?4y1?
8、442III积分次序得到改变.12三、在极坐标系下的二重积分计算一般来说,当积分区域为圆域或圆域的一部分,被积函数y22中含有或xy采用极坐标来计算二重积分较为简便。x一般是先对r积分,后对积
