初中数学竞赛讲座(第14讲)面积问题

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1、第十四讲面积问题我们已经学过的面积公式有：　　　　(2)S平行四边形=ah(其中h表示a边上的高)．　　的长，h表示平行边之间的距离)．　　由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．　　等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形．　　等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．　　三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实：　　(1

2、)等底等高的两个三角形面积相等．　　(2)两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比．　　(3)两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比．　　(4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．　　例1已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3．求a∶b∶c．　　解设△ABC的面积为S，则　　　　所以　　　说明同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比．　　例2如图1－51，ABCD的面积为64平方厘米(cm2)，E，F分别为AB，AD的中点

3、，求△CEF的面积．　　分析由于△CEF的底与高难以从平行四边行的面积中求出，因此，应设法将四边形分割为三角形，利用面积比与底(高)比来解决．　　　解连接AC．E为AB中点，所以　　　同理可得S△cDF=16(平方厘米)．　　连接DE，DB，F为AD中点，所以　　　从而S△cEF=SaBCD-S△aEF-S△bCE-S△cDF=64-16-16-8=24(平方厘米)．　　说明(1)E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE．　　(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由

4、平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等，从而这两个三角形的底、高相等获知的．　　分析直接求△DEF面积有困难，观察图形，发现△DEF与△DCF有共同的顶点D，其底边在同一条直线上，因而，高相同．所以　　　于是，求△DEF的面积就转化为求△DCF的面积．用同样的办法可将△DCF的面积转化为△ADC的面积，进而转化为△ABC的面积．　　点D，且底边EF，CF在　　同一条直线上，　　EF∶CF=2∶3，　　同理，△DCF与△DCA有共同的顶点C，且底边DF，DA在同一条直线上，由已知DF∶DA=2∶

5、3，　　所以　　　　　　例4用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．　　　分析与解如图1－53所示．设E，F分别是AB，AC的中点，可求得△EBC与△FBC的面积相等(均为△ABC面积的一半)．由于这两个三角形同底BC，因而这两个三角形的顶点E，F在一条与底边BC平行的直线上，所以EF∥BC．　　说明(1)从证题过程看出，条件“E，F是所在边的中点”可　　　　　　　从而S△cBE=S△bCF．　　这两个三角形同底BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行．　　(2)同样用面积的方法可以证

6、明如下事实：三角形ABC中，若EF∥BC且AE∶EB=m，则AF∶FC=m(请同学们自己证明)．　　例5如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD∶DC=2∶3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．　　　分析四边形AEFD可分割为△AED与△DEF．从E是AB中点及D分AC为2∶3的条件看，△AED的面积不难推知，关键是如何推求△DEF的面积．为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△DEF的面积与已知面积的关系．　　解取AD的中点G，并连接EG，在△ABD中，E

7、是AB的中点，由例3知EG∥BD．又CD∶DG=3∶1，从而，在△CEG中，　　CF∶FE=CD∶DG=3∶1(例3说明(2))，　　所以S△DFC∶S△DFE=3∶1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD∶DC=2∶3，　　所以S△EAD∶S△ECD=2∶3，　　　　又因为E是AB中点，所以　　　　SaEFD=S△aDE+S△DEF=8+3=11．　　说明在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得到相应的面积的比，从而将欲求的△DEF的面积与已知的△ABC

8、的面积“挂上了钩”．这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键．　　例6如图1-55所示．E，F分别是ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．　　　分析过C作CG⊥BE于G，CH⊥FD于H，则CG，CH分别是C到BE，DF的距离，问题就是要证明CG=CH．结合已知，BE=DF，可以断言，△BCE的面积等于△CDF的面积．由于这两个三角形的面积都等于ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解．　　解连接CF，CE．因