专题一 排列与组合

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1、专题一排列与组合应用题一、知识提要1.排列与组合应用题，是高考的常见题型，且与后面学习的古典概型问题联系密切。高考中重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面考虑：(1)以元素为主，特殊元素优先考虑（2）以位置为主，特殊位置优先考虑（3）间接法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的情况。2.排列组合综合问题一般思路：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按性质分类或按时间的发生过程分步。3.解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有：（1）特殊元素优先考虑安排的策略；（2）正难

2、则反，等价转化的策略；（3）相邻问题捆绑处理策略；（4）不相邻问题插空处理策略；（5）定序问题、平均分组问题除法策略；（6）“小集团”排列问题宪政体后局部策略；（7）分排问题直排处理策略；（8）构造模型的策略。二、典型问题（一）排队问题例1.4男3女坐在一排，分别求下列各种排法的种数（1）某人必须在中间（2）某两人必须站在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲不在最左端且乙不能在最左端（5）甲乙两人必须相邻（6）甲乙两人不能相邻（7）甲乙两人必须相隔1人（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不能相邻（10）甲

3、必须在乙的左边（11）4男不等高，按高矮顺序排列点评：排队问题中常分为“在和不在”、“邻与不邻”、“顺序固定”等问题。变式练习：1、四个人参加一次聚会，若任意两人不同是到场，则甲比乙先到的情况有＿＿种，若甲乙丙三人中甲先到，其次是乙，丙最后到的情况有＿＿＿种。2、三名男歌手，两名女歌手联合举行一场音乐会，演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，不同的出场顺序有＿＿＿种。3、有6名同学参加了演讲比赛，决出了第一至第六的名次，评委告诉甲，乙两位同学“你们都没有拿到冠军，但甲不是最差”则这6名同学的排名顺序有＿

4、＿＿种。（一）分组问题：1．　弄清是否为平均分租，若是平均分组，则需用除法策略　　　　　　　２．分组后是否需分配，若分配则需要排列．（先分组在排列）例２．六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？（１）分成三堆，一堆一本，一堆二本，一堆三本。（２）平均分成三堆，每堆２本。（３）分给甲、乙、丙３人，一人一本，一人二本，一人三本。（４）平均分给甲乙丙三人，每人２本。（５）分给甲乙丙三人，每人至少１本。（二）放球问题例３．将四个编号为１、２、３、４的小球放入４个编号为１、２、３、４的盒子中。（１）有多少种放法？（２

5、）每盒至少一球，有多少种放法？（３）恰好有一个空盒，有多少种放法？（４）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与合资的编号相同，有多少种放法？（５）把４个不同的球改成４个相同的球，恰有一个空盒，有多少种放法？（６）把４个不同的球改成２０个相同的球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解析：（１）（２）为全排列问题，共有＝２４种方法（３）先将４个球分成三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子（４）１个球的编号与盒子编号相同的选法有种，当１个球与１个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余３个球的投放

6、方法有２种，故共有＝８（种）（5）先从四个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下的两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有=12（种）放法。（6）（隔板法）先将编号1、2、3、4的4个盒子分别放入0、1、2、3、个球，再把剩下的14个球分成四组，即在14个球的中间13个空挡种放入三块隔板，共有=286种。例4．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻的2人之间至少有2个空位，共有几种不同的坐法？（2）一个长椅上共有7个座位，4人坐，要求3个空位中恰有2个空位

7、相邻，有多少种不同的坐法？注意：空位是相同的元素，无顺序的。解析：（1）先将3人（用表示）与4张空椅子（用表示）排列如图，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子分为两类，（一）分开插入如图中箭头所示，从4个空挡中选出2个插入，有种插法，（二）是2张绑在一起同时插入，有种插法。再考虑3人可交换有种方法。共有=60（种）（2）（插空法）〔点评〕解决组合应用题的总体思路是：（1）整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空寂，以保证分步的不重复。（2）局部分步，整体分类

8、以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步步连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复。（3）辩证地看待“元素”与“位置”。元素和位置是解题者视具体情况而定的，比如有时把人看做“位置”，而作为看做“元素”，问题更容易解决。（4）注意要理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，常用逆向思维、等价转化、“间