2010耶鲁专升本高数串讲最全

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2、目中给出已知条件,备选答案列出所需求的结果时,一般首选考虑直接法.验证法:把可供选择的各备选项代人题目中的已知条件或将题目中的条件代人备选项进行验算,从而得到正确选择的方法.排除法:又叫筛选法,通过找出已知条件和结论的矛盾,用特例或特殊值验证或举出反例等方法,排除错误选项,从而得到正确选项的方法.图像法:通过画出直观的几何图形,帮助分析,便于作出正确的选择的方法.每种方法都不是孤立的,有时同一试题可用多种方法求解,有时需用几种方法综合求解.二、计算题与证明题1.极限4)利用极限存在的充要条件fx−0=fx+0sinxtanx①lim=1,lim=1x11x()x→∞x→0求极限的

3、方法1)利用极限的四则运算法则2)利用极限存在准则3)利用关于无穷小量的定理（如有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量等）（这个知识点每年必考）00（这个知识点适用于三种情形：“分段函数、绝对值函数和指数函数）5)利用等价无穷小代换定理（要熟记八对等价无穷小）6)利用函数的连续性7)利用恒等变形8)利用两个重要极限及一些常用的极限x→0xx→0x2an,当m=nbnn−1ax+ax+L+a③lim=0,当>nmm−1bx+bx+L+b∞,当m

4、限fx+∆x−fxfx−fx000f'x=lim=lim.问题的关键是将所求比式的0011−sinxx−xsinx1−0例1.求lim=lim==121x+x1+xcosx.x−sinxsinx.21sinx例2.求limln=lim（洛必达）=lim22xx（注意到lim=1，故非零因子的极限可以提前拿到极限号外面去，这1cosx.x−sinx1(cosx−xsinx)−cosx是个重要的简化技巧）=lim（洛必达=lim321sinx1=−lim=−.1′(1+x)x−ex−(1+x)ln(1+x)xxx耶鲁外语2010年河南省专升本高等数学串讲资料河南专升本论坛提

5、供下载xx29)利用洛比达法则求极限①在极限式子中，如果出现非零的极限因子，则用极限的乘法把它分离出去，然后使用洛比达法则，可使计算变得简单.0比达法则,可使求导计算简单.10)利用导数定义凡已知函数可导或在某一点可导求此式极限时,一般考虑用导数的定义,如已00极限转化为上述其中的一种形式,注意自变量的改变量∆x的表达式多样性即可.（有时为∆x,有时为2∆x,或h等）xxxx2xx→0sinxsinx2x23x6x→0x6类似的题再举一个：3−xe=elim=−.213sinx+xcosx例3．求limx→013sinx+xcos1x解:原式=lim⋅lim（注意到lim=1,及

6、x→01+cosx13sinx+xcos113sinx13x=lim=lim+limxcos=1（注意倒数第二步用到limxcos=0).1+xsinx−cosx例4.求lim.21+xsinx−cosx1解:原式=lim.211（注意上式用到lim=及ln(1+x)~x(x→0).）x→01sinx1−cosx113=lim+=1+=.2222例5.求lim2sinx+cosx222sinx()2x例6．求limxsin22x2x解：由于sin~(x→∞)，故22耶鲁外语2010年河南省专升本高等数学串讲资料河南专升本论坛提供下载2x+3x2()()()ln1+x~x(x→0)，

7、但要注意上式中的sinx不可用x来代替，为什么？）2x2xx2x→0xln(1+x)x1+xsinx+cosx1+xsinx+cosx2xx2241x→01x→0（关于三角函数，三个“1”和两个倍角公式必须记住，最好还要记住加法公式及和差化积，积化和差公式）.x→∞1+x1+x1+x4耶鲁外语2010年河南省专升本高等数学串讲资料河南专升本论坛提供下载原式=limx→∞2x22=21+x∫1e−t2dt例7．求li