幂零矩阵性质及应用

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时间:2018-07-26

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1、幂零矩阵性质及应用数本041严益水学号:410401109摘要:幂零矩阵是一类特殊的矩阵,在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质,在解相关矩阵问题有很好作用,由此我们举例说明,从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论,对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中,求矩阵的逆比较麻烦,本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。关键词:幂零矩阵若当块特征值幂零指数一、预备知识(下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正  高等教育出版社、

2、《高等代数》(第二版)北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等教育出版社、《高等代数选讲》陈国利中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》(上册)杨子胥山东科学技术出版社)(一)一些概念1、令A为阶方阵,若存在正整数,使,A称为幂零矩阵。2、若A为幂零矩阵,满足的最小正整数称为A的幂零指数。3、设,称为A的转置,称为A的伴随矩阵。其中为A中元素的代数余子式4、设A为一个阶方阵,A的主对角线上所有元素的和称为A的迹,记为。5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。6、形为的矩阵称为若当块,其中为复数,由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。1、称为矩阵

3、A的特征多项式。满足的的值称为矩阵A的特征值。2、次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。(二)、一些引理引理1:设A,B为阶方阵,则引理2:分别为矩阵A的特征多项式和最小多项式,则有。引理3:每一个阶的复矩阵A都与一若当形矩阵相似,这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A唯一决定的,它称为A的若当标准形。引理4:若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。引理5:阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A和最小多项式无重根。引理6:相似矩阵具有相同的特征值。引理7:设为阶矩阵A的特征值,则有,,且对任意的多项式有的特征值为。引理8:阶若

4、当块的最小多项式为且有。引理9:矩阵匠最小多项式就是矩阵A的最后一个不变因子。引理10:A,B为阶复数域上的矩阵,若,则存在可逆矩阵T,使得。引理11:任意阶A,B方阵,有。一、幂零矩阵的性质(下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》(第二版)北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等教育出版社、《高等代数选讲》陈国利中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》(上册)杨子胥山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》谷国梁铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》韩道兰罗雁黄宗文玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零

5、矩阵的十一条性质)性质1:A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。证明:为幂零矩阵令为A任意一个特征值,则由引理7知,为的特征值从而有=0即有又有,知为A的特征值。由的任意性知,A的特征值为0。的特征值全为0的特征多项式为由引理2知,所以A为幂零矩阵。得证性质2:A为幂零矩阵的充分必要条件为。证明:为幂零矩阵,由性质1,知:A的特征值全为0即由引理7,知的特征值为从而有由已知,(1.1)令为A的不为0的特征值且互不相同重数为由(1.1)式及引理7,得方程组(1.2)由于方程组(1.2)的系数行列式为又互不相同且不为0,从而知,方程(1.2)只有0解,

6、即即A没有非零的特征值的特征值全为0,由性质1,得A为幂零矩阵得证性质3:若A为幂零矩阵,则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块,且J和主对角线上的元素为0证明:A为幂零矩阵,由性质1,知A的特征值全为0由引理3,知在复数域上,存在可逆矩阵T,使得其中阶数为由引理4,知为J和特征值又A与J相似,由引理6,知A与J有相同的特征值所以即J的主对角线上的元素全为0由引理8,知为幂零矩阵得证性质4:若A为幂零矩阵,则A一定不可逆但有证明:为幂零矩阵,A一定不可逆由性质1,得A的特征值为由引理7,得的特征值分别为且有即得证性质5:若为幂零矩阵,则A非退化证明:令为A

7、的特征值若A退化,则有由引理7,得至少存在=0为A的特征值又由引理7,得为的一特征值这与为幂零矩阵矛盾得证A为非退化性质6:若A为幂零矩阵,B为任意的阶矩阵且有,则也为幂零矩阵证明:为幂零矩阵又也为幂零矩阵得证性质7:若A为幂零矩阵且,则有证明:即任意,有即有性质8:若A为幂零矩阵且,则A不可对角化但对任意的阶方阵B,存在幂零矩阵N,使得可对角化证明:为幂零矩阵且A的特征值全为零为A的特征多项式且令为A的最小多项式,则有从而有由于,又此时即A的最小多项式有重根,由引理5,知A不可对角化为阶方阵由引理3,知在复数域上,存在可逆矩阵T,使得其中阶数为令阶数为则

8、有阶数为由引理8,知即为幂零矩阵现令即又D为对角阵,由(1)式知可

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