平行四边形与梯形的关系

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1、平行四边形与梯形的关系——试论平行四边形是特殊的梯形【内容摘要】：本人从教这几十年来，一直从事小学数学教学，多次面对《平行四边形与梯形》章节的教学。每当在教学该章节时感觉教材对平行四边形和梯形的关系的划分上不是那么科学和恰当，因此，通过多年的酝酿，现作如下分析和论证。【主题词】：平行四边形梯形关系【正文】：本人从教这几十年来，一直从事小学数学教学，多次面对《平行四边形与梯形》章节的教学。每当在教学该章节时感觉教材对平行四边形和梯形的关系的划分上不是那么科学和恰当，因此，通过多年的酝酿，现作如下分析和论证

2、。在小学中年级的数学教材中都编写有《平行四边形与梯形》这一节内容，在其中定义梯形的概念是：“只有一组对边平行的四边形叫作梯形。”这句话大概一看好像并无什么问题，并且也得到了广大教学工作者的“认可”和“理解”来对自己的学生进行教学。（当然，我本人虽然有不赞同的想法，但为了应试教育和本人的想法还没得到大家认可的情况下，也只好随大流，照本宣科。）好像谁也不会深究下去。接着便会画出四边形各种图形的关系图（如图(1)）（1）四边形梯形长方形正方形棱形平行四边形从概念定义和关系图上看，梯形和平行四边形就是并列的关系

3、，好像没有什么不妥，但如果我做如下的一些操作，便会发现，“如果把并列关系变为梯形包含平行四边形更为恰当”。aA“只有一组对边平行的四边形叫梯形。”如果有一四边形（如下图）BcbDdC一、如果只有以下某一个条件：(1)“AB//CD”或者“AC//BD”并且我们什么测量的工具或手段都没有，让我一定要判断它至少是什么图形，这时我想大家会毫不犹豫地说它至少会是“梯形”。但实际情况是，如果我通过测量另一组对边也平行，那么，我们刚刚毫不犹豫的判断就出问题了。因为教材的定义是“只有一组对边平行的四边形才是梯形”这就

4、“绝对”不能是梯形了。而这个理论上的“绝对不能”在实际中并不起作用，因为把它判断为梯形好像也不会有什么不可。二、我们虽然不去测另一对边（假设AC、BD边）是否平行，但我们却测量平行的那组对边（假设AB、CD边）的长度，AB=a，CD=b，并且还测得平行边(AB//CD)之间的距离为“h”，这时如果我们要计算该图形的面积就是：S=1/2(a+b)h。但实际情况会出现两种现象：1、a≠b；2、a=b。当然，当“a≠b”时，这就与教材中梯形概念的定义相吻合，也就没什么问题；但当“a=b”时，S=1/2(a+b

5、)h就会变成：“S=ah”或“S=bh”。而这两个等式不正好是平行四边形的面积公式吗？这又与教材中的梯形和平行四边形关系的划分而矛盾。而这个“矛盾”在实际中也不影响解决的效果。另外，如果按照现在对梯形和平行四边形关系的划分，那么，把正方形划归于长方形的特殊形式，也是有问题的；把长方形和正方形划归于平行四边形也有问题。因为，长方形只是对边相等。四个角是直角，而正方形还多了四条边都相等这“一重要条件”，同样，平行四边形与长方形相比较，长方形不也比平行四边形多了一个平行四边形有没有的“四个角都是直角”这一“重

6、要条件”。以上的两个“重要条件”，不正好与梯形和平行四边形比梯形多一个两组对边分别平行这一“重要条件”而相似么。如梯形与平行四边形因此不能是包含与被包含的关系，那么，四边形的关系图只能如下图了。（如图）梯形长方形四边形棱形正方形平行四边形因此，我认为，我们学习数学这一工具学科，主要目的之一就是用来解决日常生活和生产等活动中遇到的一些实际问题，那么，仅管我们明知某四边形是平行四边形，当我们要解它的某一方面的问题时，只要得到的条件满足梯形的条件，并且又能解平行四边形的问题时，就按梯形来解决又有何不可呢？综上

7、论证，我觉得把教材中的梯形概念定义为：“只要有一组对边平行的四边形就是梯形。”它们的关系就改为：正方形长方形平行四边形梯形四边形棱形从关系图中，可以这样理解：“平行四边形有两组对边分别平行，它就具备一组对边平行，即它也具备梯形的特征。所以梯形包含平行四边形，也可以说平行四边形是两组对边分别平行的梯形。正方形是四边相等四个角是直角的长方形或四个角是直角的棱形。”如果这样来定义和划分，不论是以上何种情形，都不会产生理论的上矛盾，并且也便于教学。不知当否，敬请专家和同行给予指正。附件一黔东南州中小学（职校、特

8、校、幼儿园）教育教学优秀论文评选登记表（内容注明：□普通高中、□普通初中、□小学、□职校、□特校、□幼儿学校，请在□内打“√”）姓名胥永明单位三穗县台烈镇中心小学职务/职称中小学一级教师联系电话18984869479单位详细地址贵州省三穗县台烈镇中心小学邮编556501论文题目平行四边形与梯形的关系论文学科数学主要观点创新点本人从教这几十年来，一直从事小学数学教学，多次面对《平行四边形与梯形》章节的教学。每当在教学该章节时感觉教材对平行四边