第二章 复变函数 习题课

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1、第二章、复变函数习题课：1、试问函数在圆盘（称为单位圆盘）内是否连续？是否一致连续？2、证明函数除去在外，处处不可微。3、设函数在区域内解析。证明：如果对每一点，有，那么在内为常数。4、设函数在区域内解析。证明：如果满足下列条件之一，那么它在内为常数：（1）、或在内为常数；（2）、在内为常数。5、证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析。6、试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：而下列函数不解析：。1、证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：。8、已知任何区域内的解析函数一定有任意阶导数。证明：（1）的实部和虚部在内也有任意阶

2、导数，并且满足拉普拉斯方程：（2）在内，9、试求出的、、、、值。10、由及所定义的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。11、由及所定义的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：由此从关于三角函数的有关公式导出：，，，，，。12、设两个实变数的函数有偏导数。这一个函数可以写成及的函数：。证明：设复变函数的实部及虚部分别是及，并且它们都有偏导数，求证，对于，柯西-黎曼条件可以写成。13、设函数在解析，那么我们说在解析。下列函数中，哪些在无穷远点解析？，。14、在复平面上取上半虚轴作割线。试在所得的

3、区域内分别取定函数和在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值。15、在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：（1）取定函数在正实轴上沿取正实值的一个解析分支，并求这个分支在处的值；在正实轴下沿的值。（1）取定函数在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这个分支在处的值；在正实轴下沿的值。16、求函数的支点，证明它在线段，的外部，能求在取正值的那个分支。17、研究函数如果规定时，。任作两种适当的割线，求这函数的一个解析分支在的值。18、找出下列推理的错误：因为，所以，因此。