回归系数的假设检验(7)

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1、回归系数的假设检验前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y是否有直线关系，是回归分析要考虑的首要问题。我们知道即使X、Y的总体回归系数b为零，由于抽样误差，其样本回归系数b也不一定为零。因此需作b是否为零的假设检验，可用方差分析或t检验。.P(x,y)Y-------------------------------------------------X应变量Y的平方和划分示意图任一点P的纵坐标被回归直线与均数截成三段：第一段，表示实测点P与回归直线的纵向距离，即实际值Y与估计值之差，称为剩余或残差。第二段，即Y估计值与均数之差，它与回归系数的大小有关。

2、b

3、

4、值越大，也越大，反之亦然。当b=0时，亦为零，则=,也就是回归直线不能使残差减小。第三段，是应变量Y的均数。依变量y的总变异由y与x间存在直线关系所引起的变异与偏差两部分构成，即上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有由于，所以于是=0所以有反映了y的总变异程度，称为y的总平方和，记为；反映了由于y与x间存在直线关系所引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为；反映了除y与x存在直线关系以外的原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。总变异SS总是由回归关系引起的SS回和与回归无关的其它各种因素产生的SS剩所构成。若回归直线

5、与各实测点十分吻合，则SS回将明显大于SS剩，当全部实测值都在回归直线上时，SS总=SS回，SS剩=0，反之，若回归直线拟合不好，SS回相对较小，SS剩则相对增大。可见SS回/SS剩反映了回归的效果。上式又可表示为：这表明y的总平方和划分为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应，y的总自由度也划分为回归自由度与离回归自由度两部分，即在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即；y的总自由度；离回归自由度。于是：离回归均方，回归均方(1)、方差分析法：具体计算如下：1、建立无效假设：H0：β=0，即胆固醇与年龄之间无直线关系H1：β≠0，即胆固醇与年龄之间

6、有直线关系α=0.052、计算SS总=88.8081df总=19SS回=blxy=0.141(453.7385)=63.9771df回=1SS剩=SS总—SS回=88.8081-63.9771=24.8310df剩=18方差分析结果表变异来源SSdfMSF总变异88.808119回归63.9771163.977146.377剩余24.8310181.37953、查表确定p值F0.05(1,18)=4.41,F0.01(1,18)=8.29P<0.01故按α=0.05水准拒绝无效假设，接受备择假设。4、结论：可以认为高血脂病人治疗前胆固醇与年龄由直线关系。（2）、

7、t检验基本思想与样本均数与总体均数比较的t检验类似，而检验统计量t值的计算按下式完成：df=n-2本例n=20，SS剩=1.3795,lxx=3216.95,b=0.141按df=18，查t界值表，t0.05(18)=2.101,t0.01(18)=2.878，按a=0.05水准，拒绝H0，接受H1，结论同上。直线回归方程的应用统计预测：1、总体回归系数β的区间估计根据参数估计原理，回归系数b是总体回归系数β的点估计，正像样本均数不一定恰好等于总体均数一样，需要对总体回归系数β进行区间估计。式中Sb为回归系数的标准误；n-2为自由度。回归方程为根据资料的样本回归

8、系数b=0.141估计总体回归系数β的95%可信区间。已知b=0.141,sb=0.0207,t0.05(18)=2.101则总体回归系数β的95%可信区间为(0.141-2.1010.0207,0.141+2.1010.0207)=(0.0975,0.1977)2、的区间估计是指总体中自变量X为某一定值X0时，的总体均数。对的估计可计算可信区间：式中即的标准误，可按下式计算：式中SY.X为剩余标准差。当时，，此时，可信区间的范围最窄，预测精度相对较高。试计算当X0=50岁时，的95%可信区间。已知，,sy.x=1.175=2.661+0.14150=9.71t

9、0.05(18)=2.101当X0=50时，的95%可信区间为（9.71-2.1010.3418,9.71+2.1010.3418）=(8.99,10.43)即当年龄为50岁时，估计其胆固醇的的总体均数在(8.99,10.43)范围内的可能性为95%。3、个体Y值的容许区间总体中，X为一定值时，个体Y值的波动范围，可按下式求出：式中SY为X取一定值时，个体Y值的标准差，其计算公式为试计算当X0=50时，个体Y值的95%容许区间。已知=9.71，t0.05(18)=2.101，SY.X=1.175故当X0=50岁时，个体Y值的95%容许区间为：（9.71-2.10

10、11.2230,9.71