求一阶微分方程积分因子的一些方法

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1、求一阶微分方程积分因子的一些方法付开祥指导老师：李拓（河西学院数学与统计学统计学院甘肃张掖734000）摘要本文给出了求一阶微分方程积分因子的一些方法，从而解决了求某些一阶微分方程通解的问题．对一些特殊类型的方程分别给出了求积分因子的特殊方法，并给出实例说明用积分法求解微分方程的具体方法．关键词恰当方程；积分因子；分组组合法；比较系数法；待定系数法．中图分类号H007.1ForfirstorderdifferentialequationofintegralfactorsomemethodsAbstract:Thisart

2、iclegivesanewdefinitionofcomplexintegratingfactoraboutfirstorderordinarydifferentialequationandanewexistencetheoremofatypeofintegralfactorandcalculationformual,andtheresuctinthispaperamplifiestheconclusionsintherelevantreference．Keywords:Properlyequation；Integral

3、factor；Groupgrouplegal；Morecoefficientmethod；Undeterminedcoefficientmethod．1引言对于一个恰当微分方程可以通过积分的方法求出它的通解，而一个非恰当微分方程是不能通过积分求解的，因此能否将一个非恰当常微分方程转化为一个恰当微分方程就有很大意义．1,2,3给出了积分因子的定义和求法．定义1我们可以将一阶方程写成微分方程的形式　　　　　　(1)如果方程(1)左端恰好是某个二元函数的全微分，即则称该方程为恰当微分方程．定义2如果存在连续可微的函数，使得7为

4、一恰当微分方程，则称为方程的积分因子．引理方程(1)有只与x有关的积分因子的充要条件是，且积分因子为．引理方程(1)有只与y有关的积分因子的充要条件是，且积分因子为．本文将给出求一阶微分方程积分因子的另外一些方法，从而使解决求某些非恰当微分方程通解的问题简单化．2主要结论及其证明定理若方程性有两个积分因子和，且不恒等于常数，则该方程的通解为=（c任意常数）．证明是方程的积分因子，故可求得可微函数，使得则是方程的解．根据结论，我们得到这里是的可微函数．由上式可得，即7由于我们已经知道是方程的解．故也是方程的解．变形上式后，

5、，这就证明了是方程通解．定理方程具有形如的积分因子的充要条件是．证明必要性若方程有形如的积分因子，则是恰当微分方程．从而令，则,所以变形为即7因此．充分性显然成立．所以，当时，可以求出，所以方程具有形为的积分因子的充要条件为．定理方程具有形如的积分因子的充要条件是．证明令，则，．方程具有的积分因子的充要条件是即当且仅当时，可以求出的表达式．7所以，方程具有形为的积分因子的充要条件为．3应用举例例求方程的解.解由于，，，，则，因此该方程不是恰当微分方程．因为，所以方程有形如的积分因子将乘方程两边，得到即因而，通解为,（c任

6、意常数）．例求方程的解．解这里，，，，方程是非恰当的．因为，所以方程有积分因子,以乘方程两边得到7,,因此方程的通解为　．例求方程的解．　解这里，，，，因此方程是非恰当的．因为，所以方程有积分因子,以乘方程两边得，即，于是方程的通解为．致谢感谢李老师的悉心指导和帮助！参考文献[1]叶产谦．常微分方程讲义[M]．第二版．北京：高等教育出版社，1988．[2]王柔坏,伍桌群．常微分方程讲义[M]．北京：人民教育出版社，1979．[3]李瑞遐．应用微分方程[M]．上海：华东理工大学出版社，2005．[4]王高雄．常微分方程[M

7、]．北京：高等教育出版社，2003．[5]庄万．常微分方程习题与解答[M]．济南：山东科技出版社，2003．7[6]丁崇文．常微分方程典型题解法和技巧[J]．福州：福建教育出版社，2001．7