证明或判断等差(等比)数列的常用方法

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1、证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列的首项，且，记．（Ⅰ）求；（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）；（Ⅱ），所以，所以，猜想：是公比为的等比数列．证明如下：因为所以是首项为，公比为的等比数列．评析：

2、此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。例2．（2005山东卷）已知数列的首项，前项和为，且（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）略．解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，当时，，所以，又，所以，从而．故总有，又，从而．所以数列是等比数列．评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含的式子，得到的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项的表达式，则较繁．注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常

3、数）；②时，有（常数）．二．运用等差或等比中项性质是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．例3．（2005江苏卷）设数列的前项为，已知，且其中为常数．（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略．解：（1）由，得．把分别代入，得解得，，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即，①又．②②-①得，，即．③又．④④-③得，，∴，∴，又，因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．（

4、高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．证明：依题意，，且，．．由此可得．即．数列为等差数列．评析：本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．三．运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡．例5．(2004全国高考题)数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列．证明：由，，知，，猜测是首项为1，公比为2的等比数列．下面用数学归纳法证明：令.(1)当时，，

5、成立．(2)当时，，成立．假设时命题成立，即．那么当时，，命题成立．综上知是首项为1，公比为2的等比数列．例6．（2005浙江卷）设点和抛物线其中，由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离．（1）求及的方程．（2）证明是等差数列．解：（I）由题意得：．设点是上任意一点，则令则由题意：即又在上，解得：，故方程为(II)设点是上任意一点，则令，则．由题意得g，即又即（*）下面用数学归纳法证明①当时，等式成立．②假设当时，等式成立，即则当时，由（*）

6、知又　　即当时，等式成立．由①②知，等式对成立．是等差数列．评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作．四．反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例7．

7、（2000年全国高考（理））设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．证明：设的公比分别为，，，为证不是等比数列只需证．事实上，，又不为零，，故不是等比数列．评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证不是等比数列，只要由特殊项（如）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 ．  五．看通项与前项和法若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列；若通项能表示成(均为不为0的常数，)

8、的形式，则数列是等比数列．若数列的前项和Sn能表示成(a，b为常数)的形式，则数列等差数列；若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．例8．(2001年全国题)若S是数列的前项和，,则是(　　).Ａ．等比数列，但不是等差数列Ｂ.等差数列，但不是等比数列Ｃ．等差数列，而且也是等比数列Ｄ.既非等比数列又非等差数列解析：用到上