重庆大学复变函数

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1、2009~2010学年第2学期一、填空（每题4分，共20分）⒈设则的三角表示形式为()的指数表示形式为()。⒉向量与互相垂直的充要条件为：3.,则=()4.5.()(其中为的正向)二、计算题（共52分）⒈通过计算，求的值.(8分)2、设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上,且,求的值.(10分)3.设函数,问当常数取何值时,在复平面上处处解析?(12分)4、求以为实部的解析函数,使满足.(12分)5.计算积分，其中为不通过点0与1的围线.（16分）证明题（共22分）⒈①求积分(其中),②证明.（12分）2.设为非常数的整函数，又设，为任

2、意正数.试证明:满足且的必存在.（10分）2007~2008学年第1学期一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.设，则A.B.C.D.[]2.在极坐标系下，满足关系式的点集是A.无界的单连通区域B.无界的多连通区域C.有界的单连通区域D.有界的多连通区域[]3.函数在处A不连续B.连续但不可导C.可导但不解析D.解析[]4.复数的主值为A.B.C.D.[]5.点是函数的A.可去奇点B.三阶极点C.本性奇点D.一阶极点[]6.级数的敛散性为A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不确定[]7.设幂级数在处收敛，则在处A.条件收敛B.发散C.

3、绝对收敛D.收敛性不确定[]8.点是函数的阶极点，则A.B.C.D.[]9.设在点处解析，，则A.B.C.D.[]10.若的傅立叶变换为，即F，则FA.B.C.D.[]二、填空题（每小题2分，共10分）1．满足关系式的2．所表示的曲线的直角坐标方程是.3．复数.4．复数的辐角主值为.5．函数的拉普拉斯变换为.三、计算题（每小题8分，共48分）1．设的辐角为，的辐角为，求2.设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的各种不同位置，计算积分的值。3．计算积分，其中为圆周上从1到的上半圆周。4．验证为调和函数，并求出以为自

4、变量的解析函数，使得5．将函数在以为中心的所有圆环域内展开成罗朗级数.6．求函数的傅氏变换及其积分表达式。四、应用题（共15分）1．（7分）利用留数计算2．（8分）利用拉普拉斯变换解满足初始条件的解。五、证明题（共7分）若为区域内的解析函数，且在内等于常数，则在内也为常数.2005年六月复变函数积分变换评分标准一、填空题（每小题3分、共30分）1、2、若，则3、=4、在全复平面内处处不5、积分=6、若幂级数在处收敛、在发散，则其收敛半径7、在的留数是8、映射将平面上的直线映射平面上的9、=10、设ℒ=，且，则ℒ=二、（10分）设，且满足

5、，试证是常数三、（10分）证明为调和函数，并求以为虚部的五、（10分）计算积分六、（10分）计算积分七、（10分）求=的付氏变换，并证明八、（10分）用拉氏变换求定解问题：的解复变函数与积分变换A答案2007-12-19一、单项选择题（每小题2分，共20分）1-10ADCBBBCBBC二、填空题（每小题2分，共10分）1．满足关系式的。2．所表示的曲线的直角坐标方程是。3．复数。4．复数的辐角主值为。5．函数的拉普拉斯变换为。三、计算题（每小题8分，共48分）1．设的辐角为，的辐角为，求解：，利用复数的相等得：所以2设为不经过与的正向简

6、单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的各种不同位置，计算积分的值。解：（1）若与均不在内，则在内解析，（2）与只有一个在内，则柯西积分公式知：（3）与均在内，作充分小。则3．计算积分，其中为圆周上从1到的上半圆周。解：，故4．验证为调和函数，并求出以为自变量的解析函数，使得解：，同理可得所以，为调和函数（除原点外）（3分）（3分）故利用解得，从而（2分）5．将函数在的所有圆环域内展开成罗朗级数.解：函数在的圆环域有：（1），（2）（2分）（1）（3分）（2）（3分）6．求函数的傅氏变换及其积分表达式。解：（4分）（利用被积函数的奇偶

7、性）（4分）四、应用题（共22分）1．（7分）利用留数计算解：先计算是在上半复平面内的2阶极点故2．（8分）利用拉普拉斯变换解满足初始条件的解。解记，方程两边施行Laplace变换，得代入初始条件并解出，得。因孤立奇点均为的1级极点，所以。五、证明题（共7分）若为区域内的解析函数，且在内等于常数，则在内也为常数.证明设，，由已知常数，即有，其中为常数。上式中两端分别对、求偏导，可得因为是区域内的解析函数，则在内有、，从而有注意，则齐次线性方程组只有零解，即在内，由条件，在内也有，从而在内、均为常数，所以在内是常数．2005年六月复变函数

8、积分变换评分标准一、填空题（每小题3分、共30分）1、2、若，则3、=164、在全复平面内处处不解析5、积分=06、若幂级数在处收敛、在发散，则其收敛半径27、在的留数是18、映射将平面上的直线映射平面上的