排列、组合 二项式定理1

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1、第十七讲排列、组合二项式定理[提纲挈领]1.本讲主要讲解与分类计数原理与分步计数原理;排列、排列数公式;组合、组合数公式;组合数的两个性质;二项式定理，二项式展开的性质有关的内容。2.有关公式：1）排列：(1)排列数公式：A=＝n·(n－1)…(n－m＋1)(2)全排数列：A＝n！(3)记住下列几个阶乘数：1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，5！＝120，6！＝7202）组合：(1)组合数公式：C＝＝(2)组合数的性质：①C＝C②③④⑤即3）二项式定理(1)二项式展开公式(2)通项公式：二项式展开式中第k＋1项的通项公式是(3

2、)近似计算，当｜x｜充分小时，我们常用下列公式估计近似值①(1＋x)≈1＋nx②(1＋x)≈1＋nx＋3．思想方法1）解排列组合应用题的基本规律(1)分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用.(2)将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步.(3)对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素.②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置.③整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数.(4)对解组合问题

3、，应注意以下三点：①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法.②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”.③合理设计“分组方案”是解组合题的关键所在.2）解排列组合题的基本策略与方法(1)去杂法对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉.这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法.(2)分类处理某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论.这是解排列组合问题的基本策略之一.注意的是：分类不重复不遗漏.即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集.(3)分步处理与分类处

4、理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决.在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步.其原则是先分类，后分步.(4)插入法(插空法)某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.(5)“捆绑”法把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”.(6)穷举法将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来.(7)探索法对于复杂的情况，不易发

5、现其规律的问题，需仔细分析，从特殊到一般，或一般到特殊，探索出其中规律，再予解决.(8)消序处理对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要消除同均匀分组无形中产生的有序因素.(9)“住店”法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店”法.(10)等价命题转换法将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题.这是解数学题的主要思想方法之一，也是解较难的排列组合题的

6、重要策略.3）解二项式定理题的基本策略与方法（1）赋值法：所谓赋值法是指在二项展开公式两边用特殊值代入，得出某些等式及组合数的性质，解决与二项式系数相关的问题.（2）构造二次式（3）算两次：对同一对象从两个不同角度去进行计数，再将两方面计算的结果综合起来，获得所需结论.这样一种处理问题的方法，称之为算两次.在排列组合中，常对同一问题可有不同的分类办法去解，可得到有关排列数与组合数的关系式.[复习巩固]1．对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，到区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有

7、（C）A.24种B.96种C.576种D.720种提示：C41C61A44。2．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中比37大的有17个。提示：二位的“渐升数”共有C92=36种，不超过期37的共有4+7+8=19种。3．求证下列各式(1)(2)4．若x∈R、n∈N*，定义：=(－5)（－4）（－3）（－2）（－1）=－120，则函数的奇偶性为（A）A．是偶函数而不是奇函数B．是奇函数而不是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数提示：=x·(x－9)(x－8)x(x+8)

8、[(x－9)+19－1]=x2(x2－9)…(x2－1).[例题精讲]例1．某校有学生宿舍若干间,现安排高三女生居住,若每间住5人,余60人.若每间住10人,则有一间宿舍不空也不满,则高三女生有人,宿舍有间.解：设共有女