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1、数学思维方法培养数学思维方法培养数学思维方法培养数学思维方法培养数学思维方法培养数学思维方法培养数学思维方法培养数学思维方法培养 一,数学方法的培养 如何加强数学方法的培养,我认为应做到以下几点: (一)教师从思想上重视数学方法的培养. 在备课时把它与数学知识一同纳入教学目的,既要注意数学知识的学习,又要注意数学方法的培养.数学知识,如概念,定理,公式,都明显地写在教科书上,不会被人忽视,而数学方法是无形的东西,容易被忽视.这就需要教师在备课时注意有关的数学方法,留意从知识中发掘,提炼出数学方法并明确地告诉学生,阐述方法的作用,引起学生
2、思想上的重视. 例如在讲到函数应用时,教师不能只满足教学生解出题目结果,而应在解题中教给学生建立数学模型的方法及其目的,意义,并在整个解题过程中培养学生的分析,综合,比较,抽象,洞察等多项能力.我们来看下面一道例题. 【例1】某人有5000元存入银行,准备x年后才取出使用.它有两种方式可供选用 (1)存x年期定期储蓄,当时年利率%,单利计息. (2)一年期定期储蓄,当时年利率%,到期把利息转入本金一并续存,这样反复进行,x年后结算,即复利计息(假定x年内利率不变). 试比较哪种方法在x年后结算时的本利和要高并求出5年后的本利和. 解
3、:从本题可以看出随着年数的增加,本利和也将不断增加,这样就确定了一种函数的关系,即:年数是自变量,本利和是因变量. 我们设年数为x,设本利和为y. (1)本金5000元,单利计息x年后的本利和: y=5000(1+%x) (2)复利计息各年本利和分别为: x年后的本利和为:. 这种对实际问题舍去其具体内容,从中抽象出数量关系的方法就属于”建立数学模型”的方法.其中(1)建立的数学模型为一次函数模型;(2)建立的数学模型为指数函数模型.这样再解决x年后的本利和的计算问题就十分清楚了. 我们要将两种计息方法进行比较,分别计算5年后的本
4、利和: 当x=5时,代入一次函数中,y=6665(元). 当x=5时,代入指数函数中,y=(元). 分析比较结果发现,单利计息的本利和要高出复利计息的本利和.这样,我们又通过不同的数学模型对现实的问题进行了解释,达到了解决问题的目的. 最后给出学生解决此类问题的方法,以此题为例,解决单利,复利计息问题的思路框图是: 数学抽象 (转化为数学问题) 数学证明 实际解释 (返回) 又如下题: 求: 解:要消去被积函数中的根式,可以利用三角公式: 设, 那么 于是,通过变量代换可将被积函数转化成变量t的表达式,即 =
5、由于所以 利用辅助直角三角形,可得, 所以, 恒等变换不仅在初等数学中有重要作用,在高等数学中也有重要意义.在解题中逐渐渗透恒等变换的数学方法,使学生掌握将复杂问题通过变换转化成简单的问题,将难的问题通过变换转化成容易的问题的数学方法.而幂级数变换,拉普拉斯变换等也都是符合这种基本思想方法的. 在教学过程中,每当遇到这类情形时,教师就应尽力提炼出解决的思想实质,不失时机地告诉学生,使其思路开阔,胸怀全局,不把眼光只局限于枝节的,具体的变换技巧和运算过程. 数学方法不只是证题的技巧性的方法,还要留意那些思考问题的带有一般性的认识论的方法
6、.例如,从特殊到一般,先具体后抽象,先简单后复杂,局部与整体相连系等,把这些思想贯穿于日常的教学中,使其日渐熏陶,理解体会.这样,就会逐渐使学生能站在较高的地位上考虑问题. (二)在解题的过程中多采用对比的手法以显示方法的优越性. 对比最具说服力,能明显地显示出一种巧妙方法地优越性,并能给学生思想上留下较深的记忆痕迹. 例如:证明,对于任意的正数x,y,z,总有 证明:如果直接去证则难度较大.但若用换元法,令 则原题变为:”如果a+b+c=0,则ab+bc+ca” 由于,所以 从而使原题得证. 又如:求抛物线上与焦点的距离等于6
7、的点的坐标. 解:对此题,大部分学生会想到设点的坐标为(x,y),据题意列出一个二元二次方程组,在去解出x,y的值.这样做运算复杂,容易出错.如果应用数形转化的思想方法,借助于抛物线的图象,在根据抛物线的定义,就会想到抛物线上任意点到焦点的距离与它到准线的距离相等,这样,就得到所求点的横坐标为,再代入抛物线方程,这样就可以求出纵坐标为,则这个点的坐标为. 通过解题方法的对比,可起到示范的作用,使学生看到灵活运用适当的数学方法的优越性,从而引起自觉的注意.同时,教师应当引导学生进行回忆,一方面可以显示方法的作用,另一方面更可使其从联系,对比中
8、学会更灵活地运用这种方法. (三)对不同类型的数学方法应有不同的教学要求并采用不同的教学方法. 对逻辑性的数学方法,应着重讲清逻辑结构,要求正确使
