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1、《初等数论》习题集第1章第1节1.证明定理1。2.证明：若m-p½mn+pq，则m-p½mq+np。3.证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。4.设p是n的最小素约数，n=pn1，n1>1，证明：若p>，则n1是素数。5.证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为a2+p（a>0是整数，p为素数）的形式。第2节1.证明：12½n4+2n3+11n2+10n，nÎZ。2.设3½a2+b2，证明：3½a且3½b。3.设n，k是正整数，证明：nk与nk+4的个位数字相同。4.证
2、明：对于任何整数n，m，等式n2+(n+1)2=m2+2不可能成立。5.设a是自然数，问a4-3a2+9是素数还是合数？6.证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。第3节1.证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。2.证明定理2的推论1,推论2和推论3。3.证明定理4的推论1和推论3。4.设x，yÎZ，17½2x+3y，证明：17½9x+5y。5.设a，b，cÎN，c无平方因子，a2½b2c，证明：a½b。6.设n是正整数，求的最大公约数。第4节1.证明定理1。2.证明定理3的推论。3.设a，b是
3、正整数，证明：(a+b)[a,b]=a[b,a+b]。4.求正整数a，b，使得a+b=120，(a,b)=24，[a,b]=144。155.设a，b，c是正整数，证明：。6.设k是正奇数，证明：1+2+L+9½1k+2k+L+9k。第5节1.说明例1证明中所用到的四个事实的依据。2.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x-162y=(1387,162)。3.计算：(27090,21672,11352)。4.使用引理1中的记号，证明：(Fn+1,Fn)=1。5.若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数
4、除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少？6.记Mn=2n-1，证明：对于正整数a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b)。第6节1.证明定理1的推论1。2.证明定理1的推论2。3.写出22345680的标准分解式。4.证明：在1,2,L,2n中任取n+1数，其中至少有一个能被另一个整除。5.证明：（n³2）不是整数。6.设a，b是正整数，证明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2。第7节1.证明定理1。2.求使12347!被35k整除的最大的k值。3.设
5、n是正整数，x是实数，证明：=n。4.设n是正整数，求方程x2-[x2]=(x-[x])2在[1,n]中的解的个数。155.证明：方程f(x)=[x]+[2x]+[22x]+[23x]+[24x]+[25x]=12345没有实数解。6.证明：在n!的标准分解式中，2的指数h=n-k，其中k是n的二进制表示的位数码之和。第8节1.证明：若2n+1是素数，则n是2的乘幂。2.证明：若2n-1是素数，则n是素数。3.证明：形如6n+5的素数有无限多个。4.设d是正整数，6d，证明：在以d为公差的等差数列中，连续三项都是素数的情况最多发
6、生一次。5.证明：对于任意给定的正整数n，必存在连续的n个自然数，使得它们都是合数。6.证明：级数发散，此处使用了定理1注2中的记号。第2章第1节1.证明定理1和定理2。2.证明定理4。3.证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。4.求81234被13除的余数。5.设f(x)是整系数多项式，并且f(1),f(2),L,f(m)都不能被m整除，则f(x)=0没有整数解。6.已知99½，求a与b。第2节1.证明定理1。2.证明：若2p+1是奇素数，则(p!)2+(-1)pº0(mod2p+1)。3.证明：若p是奇素数，N=1+2+L+(p
7、-1)，则(p-1)!ºp-1(modN)。154.证明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n-1)!º-1(modn)，则n是素数。5.设m是整数，4½m，{a1,a2,L,am}与{b1,b2,L,bm}是模m的两个完全剩余系，证明：{a1b1,a2b2,L,ambm}不是模m的完全剩余系。6.设m1,m2,L,mn是两两互素的正整数，di（1£i£n）是整数，并且diº1(modmi)，1£i£n，diº0(modmj)，i¹j，1£i,j£n。证明：当bi通过模mi（1£i£n）的完全剩余系时，b1d1+b2d2+
8、L+bndn通过模m=m1m2Lmn的完全剩余系。第3节1.证明定理1。2.设m1,m2,L,mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的简化剩余系（1£i£n），m=m1m2Lmn，Mi=，则M1x1+M2x2+L+Mnxn通过模m的简化剩余系。3.设m>1，
