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1、线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇第二讲矩阵一、矩阵的概念及其基本运算1.矩阵及其表示基本矩阵:行矩阵列矩阵零矩阵负矩阵方阵特殊矩阵:可交换矩阵例如:数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵,即秩1矩阵例如:不为零的行矩阵和列矩阵-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇,其中2.基本运算及其运算规律相等(交换律）(传递律）加法(交换律）(结合律)(零矩阵的作用)数乘法（分配律）乘法（其中）（结合律）（结合律）（左分配律）-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇（右分配律）（单位矩阵的乘法作用
2、）(零矩阵的乘法作用)矩阵的转置*相等与加法运算的条件*乘法运算的条件*乘法没有交换律(例2.3,例2.4,例2.5)消去律(例2.7)幂零律(例如:)3.矩阵应用用矩阵表示线性变换用矩阵表示线性方程组二、逆矩阵1.方阵行列式及其性质方阵行列式-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇运算性质2.伴随矩阵及其性质伴随矩阵运算性质3.逆矩阵及其性质若存在矩阵,使得,则称矩阵可逆,称为的逆,并记.性质:1)逆矩阵唯一.2)若是同阶可逆矩阵,则也是可逆矩阵,且.3)矩阵可逆的充要条件是.且当时,.4)若可逆,数,
3、则都可逆,且-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇5)若可逆,则4.判定矩阵可逆的几个条件(1)矩阵可逆的充要条件是.(2)矩阵可逆的充要条件是,存在矩阵,使得.5.逆矩阵的计算方法(1)伴随矩阵法当时,.(2)初等变换法三、初等变换初等变换P39初等矩阵对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵P39初等矩阵有三种类型初等矩阵是可逆矩阵初等矩阵的逆矩阵分别为初等变换的性质:-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇定理1(P41定理2.7)（）（）（）定理2(P44定理2.10)任何矩阵都与形如的矩阵
4、等价（其中由唯一决定）.称为矩阵的等价标准形.推论（P44定理2.12）对于任意矩阵,一定存在可逆矩阵,使得.推论（P44定理2.11）可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵,即可逆矩阵等于初等矩阵之积.6.逆矩阵应用利用逆矩阵解线性方程组利用逆矩阵求逆线性变换四、分块矩阵分块对角阵,其中是方阵分块对角阵的性质:(1);-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇(2)若,则.五、习题解答1.P498.提示:2.P4910.提示:是第一种初等矩阵,其逆是自己.由定理2.7易得.3.P4911.提示:4.P5013.提
5、示:5.P4912.提示:运用P5013.的结果：.6.P5016.提示:7.P5017.提示:设,则,-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇是实数矩阵.产生矛盾,故.8.P5018.证明:可逆,并求其逆.提示:方法一验证法方法二构造法假设可逆,是其逆,则,于是因此,可逆,且.9.P5019.证明:可逆,并求其逆.提示:方法一验证法方法二构造法假设可逆,是其逆,则,于是因此,可逆,且.10.P5022.结论:与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵.11.P504结论:上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对
6、角矩阵的积是对角矩阵.12.P515.-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇提示:(1)一方面另一方面(2)13.P516.提示:六、知识扩展1.已知,设,求.提示:-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇2.设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,求.（2006数四）提示:3.设,而为正整数,求.（1999数三四）(答案:)（可试着推测结果）提示:4.设,,其中为三阶可逆矩阵,求.(2004数四)提示:5.设均为阶矩阵,若,求.（2005数四）提示:6.设均为阶矩阵,,求.（1998数四）(答案:
7、)提示:.7.设矩阵,求.（2002数四）-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇提示:方法一先求出,再计算方法二由8.设是任一阶方阵,为常数,求.（1998数二）提示:方法一因为的余子式,故.方法二加强条件法如果是选择题,可设可逆,,则.9.已知阶矩阵满足,证明:可逆,并求其逆.若,求.（2000数二）提示:方法一,故可逆,且.方法二,故可逆,且.10.已知矩阵满足,证明矩阵可逆.若,求矩阵.（2000 数二）提示:由-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇故可逆.且11.设矩阵满足求矩阵.（
8、1999数二）提示:由12.设矩阵的伴随矩阵,且求矩阵.(2000数一)提示:13.矩阵满足,矩阵,求.（2001数二）14.已知阶矩阵满足条件,求.(若)(1999数四）提示:由15.设矩阵满足关系式,求矩阵.(若,求)（1987数三四）-14-线性代数与空间解析几何辅导讲义编写者:张薇16.设矩阵满足,求.(若,求)（1998数三四）提示:方法一,方法二
