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《三重积分及其计算和多重积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、三重积分和多重积分方法在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去.类似于第三节,我们先定义一个R3中集合的可求体积性.同样可以给出一列类似的结论.读者自己推广.这里将不再赘述.一、引例设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域，它的点密度为，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域分割为若干个可求体积的小区域，其体积分别是，直径分别是，即,(i=1,2,…,n）,
2、WQ
3、表示W,Q两点的距离．设，则当很小时，在上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点的密度来近似整个小区域上的密度，这样我
4、们可以求得这个小的立体的质量近似为，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即．当时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即．从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．二、三重积分的定义设是空间中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域，这个分割也称为V的分划，记为P:.(空,),其体积分别是，直径分别是．设,或记为
5、
6、P
7、
8、.在每个小区域中任意取一点，作和(称为Riemann和)，若当时，这个和
9、式的极限存在，则称其极限为函数在区域上的三重积分，记为．并称函数在区域上可积．称为被积函数,x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为．我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积,也有同样的结论(略).1.若是有界闭区域上的连续函数，则函数在区域上可积．2.若=1时,的体积.3.若在有界闭区域上的间断点集合是0体积时,在可积.三重积分有着与二重积分类似的性质．下面简单叙述一下．１．可积函数的和（或差）及积仍可积.和（差）的积分等于积分的和(差)．２．可积函数的函数倍仍可积.其积分等于该函数积分的倍．３．设
10、是可求体积的有界闭区域，在上可积，分为两个无共同内点的可求体积的闭区域之并，则在上可积，并有．等等.一、三重积分的计算方法同二重积分一样,我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成..1.利用直角坐标系计算三重积分先给一个结论.定理12.14若函数是长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的可积,记D=[c,d]×[e,h],对任意x∈[a,b],二重积分存在,则(记为)也存在,且.这时右边称为三次积分或累次积分,即三重积分化为三次积分.证明分别中[a,b],[c,d],[e,h]插入若干个分点;;作平面,,,(i=0,1
11、,2,…,n;,ji=0,1,2,…,m;k=0,1,2,…,s,)得到V的一个分划P.令(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,),,分别是在上的上,下确界.那么在上有其中Δxi,=xi-xi-1,Δyj,=yj-yj-1,Δzk,=zk-zk-1,(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,).因可积，所以当
12、
13、P
14、
15、趋于0时，Darboux大,小和趋于同一数，即三重积分.zxy故定理得证.hzxyDz如果V如右图,zxzxye≤z≤h,z=z与V的截面面积为Dz,ezxy图12-4-1yx
16、y不难得到,若函数在V上的可积,那么.下面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成．设函数在有界闭区域上连图12-4-2续，我们先讨论一种比较特殊的情况．，其中为在平面上的投影，且．如图1２．我们现在轴上做积分，暂时将看成是常数．把函数看作是的函数，将它在区间上积分得到．显然这个结果是的函数，再把这个结果在平面区域上做二重积分．在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果．若平面区域可以用不等式表示，则．这个公式也将三重积分化为了三次积分．如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算．例1计算三重积分，其中是由三个
17、坐标面和平面所围的立体区域．解积分区域如图所示，可以用不等式表示为，所以积分可以化为图12-4-3四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果:定理12.15设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且(称为Jacobi).如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分
18、可以用极坐标来计算．同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算．我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分．设空间中有一点，其在坐标面上的投影点的极坐标为，这样三个数就称
