排列组合经典例题透析

《排列组合经典例题透析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、组合经典例题透析类型一：组合数公式及其性质　　1．计算：　　（1）；（2）.　　思路点拨：可以直接依据组合数公式计算，也可以先利用性质化简后再计算　　解析：　　（1）方法一：；　　　　方法二：；　　（2）方法一：；　　　　方法二：.　　总结升华：当时，利用性质计算比较简便．性质2表达组合数的递推性质，它可用于计算求值，更重要的是用于恒等式的证明。　　举一反三：　　【变式1】计算：　　（1）；（2）；（3）　　【答案】　　（1）或　　（2）或　　（3）　　【变式2】计算：　　（1）；（2）　　【答案】　　（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2、　　　　　　　=…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【变式3】求证：．　　证明：右边　　　　　　　　　　　　　左边　　2．解方程：.　　解析：原方程可化为，　　　　　整理得:，　　　　　解得或（不合题意舍去）．　　　　　经检验是原方程的根．　　总结升华：解含组合数的方程和不等式时要注意组合数中，且这些限制条件，要注意含组合数的方程和不等式中未知数的取值范围；应强调解组合数方程要验根。　　举一反

3、三：　　【变式1】解方程：　　【答案】原方程为　　　　　　∴2x＝x＋4或2x＝21-x　　　　　　解得：x＝4或x＝7　　　　　　经检验x＝4，x＝7都是原方程的根。　　【变式2】已知，求、的值．　　【答案】依题意得，　　　　　　整理得，解得：.类型二：组合的应用　　3．平面内有10个点，　　（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？　　（2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？　　思路点拨：线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序，是排列问题．　　解析：　　（1）以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，　　

4、　　即以其中每2个点为端点的线段共有（条）　　（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，　　　　以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，　　　　即以其中每2个点为端点的有向线段共(条)　　总结升华：一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没有顺序，交换其中两个元素是否改变所得的结果．　　举一反三：　　【变式1】下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。　　（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？　　（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？　　（3）10个同学毕业后互相通

5、了一次信，一共写了多少封信？　　（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？　　【答案】　　（1）组合问题，可以得到个不同的和；　　（2）排列问题，可以得到个不同的商；　　（3）排列问题，一共写了封信；　　（4）组合问题，共握了次手.　　【变式2】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．　　（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？　　（2）从口袋内取出3个球，使其中恰有1个黑球，有多少种取法？　　（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？　　【答案】　　（1）56；从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是　　（2）21；从口袋内取出3个球恰有1个

6、黑球，也就是除黑球外还要从7个白球中再取出2个，　　　　　　取法种数是。　　（3）35；由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是。　　4．在100张奖券中，有1张一等奖，3张二等奖，6张三等奖，从中任意抽出2张．　　（1）一共有多少种不同的抽法？　　（2）其中恰好有1张是二等奖的抽法有多少种？　　（3）其中至少有1张是二等奖的抽法有多少种？　　思路点拨：“2张中恰好有1张是二等奖”即为“1张是二等奖1张非二等奖”，可以分步完成；“2张中至少有1张是二等奖”即为“2张中恰好有1张是二等奖”或“2张都是二等奖”，可以从对立面解决。　　解析：　　（1）所求就

7、是从100张奖券中取出2张的组合数，为；　　（2）分两步完成：　　　　第一步，从3张二等奖中抽出1张二等奖的抽法有种，　　　　第二步，从97张非二等奖中抽出1张的抽法有种．　　　　因此共有种。　　（3）方法一：直接法　　　　　　　　分两类：　　　　　　　　第一类：“2张中恰好有1张是二等奖”的抽法有；　　　　　　　　第二类：“2张都是二等奖”的抽法有；　　　　　　　　故共有方法种。　　　　方法二：间接法　　　　　　　　抽出的2张中至少有1张二等奖的抽法的种