毕业论文初稿__孙宗云

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1、吉首大学　　　　JISHOU　UNIVERSITY毕业论文(设计)题　　目积分中值定理的拓展作　　者胡波所属学院数学与计算机科学学院专业年级08级信息与计算科学指导教师曾繁富职称教授写作时间2012-4-9吉首大学教务处制10[摘要]：本文对定积分中值定理作了改进，指出并证明了“中值”必可在开区间内部某点取到，并且讨论了区间上的积分中值定理在时的中间点的渐近性态，证明了在一定的条件下，积分中值定理的中间点趋向于区间中点。[关键词]：积分中值定理；连续函数性质（最大最小值定理，介值性定理，根的存在定理，迫敛性）；中间点；渐近性质Abstract：Thispape

2、rimprovesthetheoremofthedefiniteintegralmiddlevalue,indicatedandprovedthemiddlevaluecanbefoundintheopeninterval(a,b),andtheasymptoticpropertyoftheintermediatepointofthemeanvaluetheoremfortheintegraloftheintervalisdiscussed,undersomeconditionsitisprovedthattheintermediatepointapproac

3、hestothemidpointofmidpointoftheintervalas.Keyword：meanvaluetheoremforintegral；thenatureofcontinuousfunctions；intermediatepoint；asymptoticproperty一、引言定积分中值定理是数学分析中一个非常重要的定理，它包括积分第一中值定理和积分第二中值定理，关于积分中值定理在书中是这么描述的：定理1（积分第一中值定理）：若在上连续，则至少存在一点∈，使得。定理2（推广的积分第一中值定理）：若与定理2（推广的积分第一中值定理）：若与都在

4、上连续，且在上不变号，则至少存在一点∈，使得。（当≡1时，即为定理1）定理3（积分第二中值定理）：设在上可积，若函数在上减，且≥0，则存在∈，使得；易看出上述的三个定理中的“中值”点未必都是区间的内点，有可能是端点，这就是原积分中值定理的局限性，使用起来十分不便，那么我们自然会问：“能不能把∈10改成∈？”事实上是可以的，本文将在证明在开区间内至少存在一点使上述定理成立，从而应用起来更加方便。①设是区间上的连续函数，那么它是否也满足积分中值定理，存在一实数x，使得x)？②在文献[1]中，BernardJacobson研究了在中当时中间点x中间点的渐近性质，证明

5、了在的条件下，中间点x趋近于积分区间的中点，即，ZhangBaolin，李文荣等则在一般情况下讨论了推广的积分中值定理“中间点”的渐近性。在后文讨论研究积分中值定理中间点的渐近性质，但是与文献[1-3]有所不同：假设积分区间在长度保持不变的情况下，令是上的连续函数，对于，由积分中值定理知，存在实数x，使得x）下文将讨论当时，中间点x的渐近性质：论证若满足一定的条件下，则中间点x的中间点。二预备定理引理1（最大最小值定理）：若在闭区间上连续，则在上有最大最小值。证明：（应用确界原理）由于在上连续，故在上有界，有确界原理有上确界，记为。接下来论证：存在∈使,若不然

6、对都有＜。令，，显然在上连续，故在上有上界。设为的一个上界那么＜≤,从而可得。但是这个恰好与为有上确界（最小上界）矛盾，所以必存在∈使。即在上有最大值。10同理可证在上有最小值。引理2（介值性定理）：设在上连续，且若为介于之间的任何实数（＜＜）或（＞＞），那么存在0使得0）=。证明：（应用确界原理）不妨设＜＜，令则也是上的连续函数且＜0，＞0，于是定理的结论转化为证明：存在0使得=0（这个简化的情形成为根的存在性定理）。记=显然为非空有界数集（，且）故由确界原理，有下确界记为0=inf，因＜0，＞0，由连续函数的局部保号性，存在>0,使得在内＜0,在内＞0,由

7、此可见0，0，即0，下证，否则不妨设，则由局部保号性，存在0,)，使在其内＞0，特别有0)0这与0=相矛盾，故必有0）=0，所以原命题成立。引理3（极限的保号性）：若n=>0,或者n=0则对任何（或），存在，使得当时有n，或n证明：不妨设，取则存在正数使得当时n同理可证的情形，所以定理成立。引理4(拉格朗日中值定理)：若在上了连续且在上可导，则在内至少存在一点使得证明：作辅助函数10显然在上连续，在上可导，且，又罗尔定理可得：至少存在一点使得即。引理5（积分不等式性）：若与为上两个可积函数且，则由。证明：令，因为为可积函数，故在上也可积，有因，所以即故。三改进

8、后的积分中值定理及证明定理：若在上连续