海涅定理在函数极限证明中的应用

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1、海涅定理在函数极限证明中的应用摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。关键词：海涅定理；函数极限；数列极限Abstract:Thelimittheoryoffunctionsplaysanimportantroleinmathematicalanalysis.Studyonthemethodprovingexistenceoffunctionlimitis

2、verymeaningful.Inthispaper,wegavesomeapplicationsforexistenceoffunctionlimitbyusingHeinetheoremanddealtwiththefunctionlimitproblemstothesequencelimitproblems.Thesenotonlygaveakindofthemethodforexistenceoffunctionlimit,butalsodeepenthecomprehensionabouttherelationshipbetweenthefunctionlimitandthe

3、sequencelimit.Keywords:Heinetheorem;functionlimit;sequencelimit数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样

4、的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献[6，8,10]对海涅定理进行归类整理的。第13页（共13页）1预备知识定义1.1函数在点的极限的定义：设函数在点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设是一个定数。如果对任意给定的，一定存在，使得当时，总有，我们就称是函数在点的极限，记为（或者记为）.这时也称函数在点极限存在，其极限是。

5、2海涅定理的证明及推广定理2.1海涅定理的充分必要条件为对任何以为极限的数列，都有。证明先证必要性。由于，所以对任意的，存在，当时，.但是，故对，又可得正整数，时，.因为，故上面的不等式可改写为.而对于适合这个不等式的，其函数值满足.第13页（共13页）亦即当时，这个不等式成立，这也就证明了数列以为极限。再证充分性。用反证法，若，则对某一个，不能找到函数极限定义中的，也就是对任意的，都可以找到一点，，使得；特别地，若取为，得到满足，；，；，；…………从左边一列可以看出，，而右边一列却说数列不以为极限，与假设矛盾。充分性得证。等价类型的海涅定理：定理2.2设在上有定义则的充要条件是：对于

6、任何以为极限的数列，都有。证明先证必要性。因为，则得到对任意的，存在，当时有.但是，故对，可得正整数，当时有。又因为。故上面的不等式可以改写为.亦即当时，这个不等式成立，这也就证明了数列以为极限。再证充分性。用反证法，假设，则对于某一个，不能找到函数极限定义中的，也就是对任意都能找到一个点时，使得。特别地，当取时，得到适合第13页（共13页），，，........从左边一列可以看出，，而右边一列却说数列不以为极限，与假设矛盾。充分性得证。定理2.3设在的某一邻域内有定义，则函数在点连续的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，都有。定理2.4设函数在点的某空心右邻域有定义，则的充要条件

7、是：对任何以为极限的单调递减数列，都有。定理2.5设函数在点的某空心左邻域有定义，则的充要条件是：对任何以为极限的单调递增数列，都有。3海涅定理的应用3.1利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明对于一些函数极限的性质和定理等，无法用函数极限的定义证明或用函数的定义证明比较复杂时，就可以利用海涅定理将函数转化成数列来证明。例3.1若与且皆存在，则有.证明设第13页（共13页），，.又设是任意一个含于函数的定义域且以为极限的数列。那