近代概率论基础第四章作业解答(参考)

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1、第四章作业题解答参考4．解：（1）按照示性函数的定义，示性函数为一随机变量且对任意的事件，有。因此，，，，故对任意的，有（2）由（1）可知注意到和，对上式取数学期望可知：。（3）用记“五个队中至少有一个对全胜”，用记“五个队中至少有一个对全败”，则要求的概率为：。5．解：设，其中，则，由试验独立得诸相互独立，由此得。8．解：，。9、证：。10、证：由期望存在得，故，以此代入的计算式即得。特别地，如果只取非负值，则当时，有，故。另证：因为对任意的，有故注：第2个等号用到期望和积分交换次序，这是根据Fubini定理。13．证：的联合

2、密度为，∴（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）.另证：设，则。而和的分布函数均为：，又因为相互独立，故的分布函数应为：，于是。14．解：设的分布函数为，根据数学期望的定义，注意到的单调非降性，可知：对任意的，有最后由可知结论成立。15．解：令，由题意知：，而，故由数学期望的线性性质可知：，于是结论成立。16．解：用记袋中的白球数，则。由全概公式知所求的的概率为22．解：因，，可设拉格朗日函数为：利用拉格朗日乘数法可解得：这即为所求。24．解：不妨设的密度函数为，则。注

3、意到，于是(或者：)而因此。又，于是，故与不相关。但是，对任意的，有即与不相互独立。27．解：不妨设的分布律及联合分布律分别为：，；。那么；如果不相关，则有，即。由上式可解得：于是与相互独立。43．证明：充分性的证明见课件，下面证明必要性。用表示“实验次数为的伯努利实验中的成功的次数”；用表示“实验次数为的伯努利实验中的失败的次数”，则。（1）再令，，则有，，且的母函数分别为：和，其中。我们设的母函数为，则由(4.4.13)式可知，和的母函数分别为：和。这样，由（1）可知，对任意的，有：，于是对任意的，有这样，类似于引理2.4.

4、1的证明可知：，其中为一常数。最后如果我们令，则有，于是实验次数服从参数为的泊松分布。44．证明：（1）见课件《母函数》那一节。（2）不做要求。47．证明：“充分性”：设分布函数的特征函数为，且为实的偶函数。根据逆转公式，设为的连续点，则有我们让沿着的连续点趋向于，则有，对的一切连续点，有。如果不是的连续点，则存在的连续点列，使得，这样对每一个，，最后在上式中令，考虑到分布函数的左连续性即得。“必要性”：设随机变量的分布函数满足，且的特征函数为。由特征函数的定义的分布函数为，于是的特征函数为。而由P226性质6可知：，于是对任意

5、的，有。又因为，因此为实的偶函数。50．解：随机变量的密度函数为，于是和的特征函数均为而的密度函数为：，因此的特征函数为故。但是因为，所以与线性相关，故显然不独立。注：如何求解上面的两个含有参数的广义积分请查阅数学分析书。52．解：因为相互独立且服从，因此也相互独立，且的密度函数为：，于是的密度函数为：即服从自由度为的分布。而自由度为的分布的特征函数为：因此的特征函数为：，又因为相互独立，因此的特征函数为：，即服从自由度为的分布。设服从自由度为的分布，服从自由度为的分布，且与相互独立。因为，，因此分布关于自由度这个参数具有再生性

6、。