微积分专题讲座(2)

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1、微积分专题讲座（下）一、向量代数和空间解析几何向量代数1、设为，，为单位向量，且++=，则++=______。（—）2、设（）=2，则[(+)(+)](+)=_______。（4）3、若=1，=4，且（）=—3，则与的夹角=________。（arccos）4、若=，=1，且与的夹角=，求：（1）+与—的夹角；【arccos】；（2）以+2与—3为邻边的平行四边形的面积。【】；5、设（+3）（7—5），（—4）（7—2），求与的夹角。【=】空间解析几何6、设有直线：==，：==，求过且平行于的平面方程。7、求经过点P（

2、2，-3,1）并且与直线L：==垂直相交的直线方程。8、求直线L：==在平面：x-y+2z-1=0上的投影直线的方程，并求绕y轴旋转一周所成的曲面方程。二、多元微分学概念及其关系函数z=f（x，y）在点（，）（极限存在）←（连续）←（可微）←（偏导数连续）↙↘（可偏导）（方向导数存在）1、讨论f（x，y）=在点（0,0）处的连续性、可导性。2、讨论f（x，y）=在点（0,0）处的连续性、可导性和可微性。153、讨论f（x，y）=在点（0,0）处连续性、可导性和可微性。4、设函数f（x,y）在点（）的两个偏导数都存在，则

3、（）【C】（A）f（x，y）在点（）连续；（B）f（x，y）在点（）可微；（C）f（x，）与f（，y）都存在；（D）f（x，y）存在。5、二元函数f（x，y）在点（0,0）处可微的一个充分条件是（）【C】（A）[f(x,y)-f(0,0)]=0;(B)且；（C）；（D）[(x,0)—(0,0)]=0,且[(0,y)—（0,0）]=0。偏导数与全微分6、设z=（+），求与。7、设z=，u=ln，v=arctan，求。8、设f（u，v）有二阶连续偏导数，g（u）有二阶连续导数，且z=f（xy，）+g（），求。9、有连续偏导

4、数，函数z=z（x，y）由方程=0所确定，证明+=。10、设函数有连续偏导数，函数，分别由方程，所确定，求。11、设函数有连续偏导数，函数由方程所确定，求。12、设，由方程和确定，有一阶连续导数，F有一阶连续偏导数，求。13、若函数满足，则称为n次齐次函数，设n次齐次函数具有二阶连续偏导数，证明：15（1）；（2）。14、设具有二阶连续偏导数，且，，是由方程确定的隐函数，证明：。15、设在点处可微分，且，，，，求。【51】16、设函数在内具有二阶导数，且满足等式，若，，求函数的表达式。17、设具有二阶连续导数，满足，求

5、。18、设具有二阶连续偏导数，且满足，求所满足的一阶微分方程，并求其通解。方向导数和梯度19、设是曲面在点处指向外侧的法向量，求在点沿方向的偏导数。20、设一礼堂顶部为一个半椭球面，其方程为，求下雨时过屋顶上点处的雨水留下的路线方程。21、曲面与平面平行的切平面方程为___________.【，关键是切点、法向量】22、曲线在处的切线方程为__________，法平面方程为_____________。极值、条件极值与最值1523、设是由确定的函数，求的极值点和极值。24、已知曲线，求曲线上距离最远的点和最近的点。【】2

6、5、已知函数的全微分，并且，求在上的最大值和最小值。【最大值为3，最小值为-2】26、求椭球面的内接长方体的最大体积。【建立函数关系，化为函数的最值问题】三、重积分二重积分1、二重积分的概念、性质（类似定积分）2、二重积分计算公式若果积分区域D为x型区域：则如果积分区域D为y型区域：则如果积分区域D：，则3、利用对称性计算二重积分(1)若区域D关于x（或者y）轴对称，f（x，y）关于y（或者x）是奇函数，则(2)若区域D关于x（或者y）轴对称，f(x,y)关于y（或者x）是偶函数，则(3)若区域D关于x轴和y轴都对称，

7、f(x,y)关于y和x都是偶函数，则(4)若区域D关于直线y=x对称，则，特别地，4、计算二重积分的步骤（1）画出积分区域D；考察对称性、选择坐标系、积分次序并确定积分限（关键）；（2）表为二次积分并计算二次积分；注意：15（1）选择坐标系、积分次序的依据是被积函数和积分区域：当积分区域为圆域、环域及其部分域，被积函数含时，可以考虑采用极坐标计算二重积分。（2）计算二重积分的关键是确定积分限，要熟练的掌握确定积分限的方法。（直角坐标：投影找区间，穿刺找线段；极坐标：旋转找区间，穿刺找线段）例题1、设D是由y=x,y=在

8、第一象限所围区域，求.【】2、求，D是由围成的第一象限区域。【】3、计算。【】4、求，D由，，围成。5、求，其中D是由圆和所围成的平面区域。6、求。【】7、设函数，区域，求。8、求的值，其中D由围成。【】9、设，f（x）为D上的正值连续函数，a，b为常数，求。【】10、交换积分次序，=_________.【】11、表位直角坐标下的