全国初中数学联赛试题答案

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1、2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知,,,那么的大小关系是(C)A.B.C.D.2.方程的整数解的组数为(B)A.3.B.4.C.5.D.6.3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为(D)A.B.C.D.4.已知实数满足,则的最小值为(B)A..B.0.C.1.D..5.若方程的两个不相等的实数根满足,则实数的所有可能的值之和为(B)A.0.B..C..D..6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数

2、字可重复使用),要求满足.这样的四位数共有(C)A.36个.B.40个.C.44个.D.48个.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知互不相等的实数满足,则.2.使得是完全平方数的整数的个数为1.3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则=.4.已知实数满足,,,则=.第二试(A)一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为(),则.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长,下面先求的值.由及得,所以.由及得,所以.又因为为整数,所以.根据勾股定理

3、可得,把代入,化简得,所以,因为均为整数且,所以只可能是解得所以,直角三角形的斜边长,三角形的外接圆的面积为.二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证明:.证明:连接OA,OB,OC.∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得,.又由切割线定理可得,∴,∴D、B、C、O四点共圆,∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD,∴,∴.三.(本题满分25分)已知抛物线的顶点为P,与轴的正半轴交于A、B()两点,与轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M,若AM//BC,求抛物线的

4、解析式.解易求得点P,点C.设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为.显然,是一元二次方程的两根,所以,,又AB的中点E的坐标为,所以AE=.因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得,即,又易知,所以可得.又由DA=DC得,即,把代入后可解得(另一解舍去).又因为AM//BC,所以,即.把代入解得(另一解舍去).因此,抛物线的解析式为.第二试(B)一.(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为(),则.显然,三角形的外接圆的直

5、径即为斜边长,下面先求的值.由及得,所以.由及得,所以.又因为为整数,所以.根据勾股定理可得,把代入,化简得,所以,因为均为整数且,所以只可能是或解得或当时,,三角形的外接圆的面积为;当时,,三角形的外接圆的面积为.二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.证明:连接OA,OB,OC,BD.∵OA⊥AP,AD⊥OP,∴由射影定理可得,.又由切割线定理可得,∴,∴D、B、C、O四点共圆,∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC,∠PBD=∠COD,∴△PBD∽

6、△COD,∴,∴,∴.又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC,∴△BDA∽△ADC,∴∠BAD=∠ACD,∴AB是△ADC的外接圆的切线,∴∠BAE=∠ACB.三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.第二试(C)一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.三.(本题满分25分)已知抛物线的顶点为P,与轴的正半轴交于A、B()两点,与轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q,且∠QBO=∠OBC.求抛物线的解析式.

7、解抛物线的方程即,所以点P,点C.设△ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为.显然,是一元二次方程的两根,所以,,又AB的中点E的坐标为,所以AE=.因为PA为⊙D的切线,所以PA⊥AD,又AE⊥PD,所以由射影定理可得,即,又易知,所以可得.又由DA=DC得,即,把代入后可解得(另一解舍去).将抛物线向左平移个单位后,得到的新抛物线为.易求得两抛物线的交点为Q.由∠QBO=∠OBC可得∠QBO=∠OBC.作QN⊥AB,垂足为N,则N,又,所以∠QBO==.又∠OBC=,所以.解得(另一解,舍去).因此,抛物线的解析式为.

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