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《第77讲 组合几何(新)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第16讲组合几何本节主要内容是组合几何，几何中一些组合性质的问题．按照数学家厄迪斯的说法，凸性、覆盖、嵌入、计数、几何不等式、等都属于这类问题．凸包和覆盖、几何不等式问题分别在第6讲、第15讲已经着重讲解过，本讲仍有所涉及，本讲涉及组合计数、几何极值、几何图形的分割和一些组合几何杂题．A类例题例1证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线之和不小于4+2.(1985年奥地利和波兰联合数学竞赛试题)分析先考虑两种特殊情形：面积等于1的正方形和菱形.在正方形中周长为4,对角线之和为2；在菱形中, 两条对角线长分别为l1和l2,则因面积面积S
2、=l1l2=1,故l1＋l2≥2=2,而周长=4=2≥2=4.故两种特殊情形之下结论成立．这就启发我们可将周长和对角线分开来考虑．证明设ABCD是任一面积为1的凸四边形(如图)，于是有1=(eg+gf+fh+he)sinα≤(eg+gf+fh+he)＝(e＋f)(g+h)≤()2,即对角线之和为e＋f+g+h≥2．再按图的方式最新将图形中线段和角标上字母，于是又有2=2S四边形ABCD=absinβ1+bcsinβ2+cdsinβ3+dasinβ4≤(ab+bc+cd+da)=(a+c)(b+d)≤()2,则a+b+c+d≥4.综上所述,命题
3、结论成立．说明几何不等式的证明通常引进几何变量后化归为代数不等式的证明，其中均值不等式和柯西不等式经常使用．例2在平面上给定五个点，连接这些点的直线互不平行、互不垂直，也互不重合．过每一点作两两连接其余四点的所有直线的垂线．若不计原来给定的五点,这些垂线彼此间的交点最多能有多少个？(第6届IMO试题)分析先考虑所有五个点间的连线的情况，再考虑每点向所有连线作的垂线的情况，利用多个点向一条直线作垂线没有交点，三角形的三条高线交于一点，将多计数的交点一一剔除．解由题设条件，给定的五个点之间的连线共有C=10条,这些点构成的三角形共有C=10个．过
4、给定五点中的每一个作不通过该点连线的垂线共有5C=30条．若此30条垂线两两互不平行,它们的交点也互不重合,则共有C=435个交点．然而，在本问题中的30条垂线有相互平行的,也有交点重合的,故应从435个交点中减去多计入的交点个数．首先，对于任一条连线，过其余三点所作该连线的三条垂线是彼此平行而无交点的，故应从总数中减去由此多计入的10C=30个交点；其次，对于由这些连线构成的每一个三角形来说，三条高同交于一点，而这三条高也为所作的垂线，故应从总数中再减去10(C-1)=20个多计入的交点；又过每一顶点所作其余连线的垂线都重交于该顶点，而欲求
5、交点数是不记入该五个顶点的，故又应从总数中再减去5C=75个多计入的顶点(恰有C=6条垂线在一顶点处相交)．故至多有435-20-30-75=310个交点．说明简单的组合计数问题和普通的排列组合问题解决的方法类似，必须做到既不遗漏，也不重复(不多算，也不少算)，复杂的问题还要构造递推关系、利用映射、算两次、数学归纳法等思想方法加以考虑，见本书其它讲座．情景再现1.在平面上给定正方形ABCD, 试求比值的最小值，其中O是平面上的任意点．(1993年圣彼得堡市数学选拔考试试题)2.由9条水平线与9条竖直线组成的8×8的棋盘共形成r个矩形，其中s个
6、正方形，的值可由形式表示，其中m,n均为正整数，且是既约分数. 求m+n的值.(1997年美国数学邀请赛试题)B类例题例3已知边长为4的正三角形ABC，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且
7、AE
8、=
9、BF
10、=
11、CD
12、=1，连接AD、BE、CF，交成△RQS，P点在△RQS内及其边上移动，P点到△ABC三边的距离分别记作x、y、z.1.求证：当P点在△RQS的顶点时，乘积xyz有极小值；2.求上述乘积的极小值.（1982年全国高中数学联赛试题）分析逐步调整法 先固定x，考虑yz的最小值. 然后又由对称性扩大P点的变化范围求乘积xyz的极小
13、值．解1.如图，第一步，先固定x，考虑yz的最小值.即过P作直线l∥BC，当P在l上变化时，yz何时最小.第二步，先证两个引理：引理1：x+y+z=定值，这个定值就是正三角形的高.引理2：设y∈[α,β]，y的二次函数y(a—y)在[α,β]的一个端点处取得最小值.引理1的证明用面积法，引理2的证明可用配方法.（证明留给读者）由两个引理不难得到：如果P’,P’’为l上的两点，那么当P在区间[P’,P’’]上变动时，xyz在端点P’P’’处取得最小值.第三步，扩大P点的变化范围：根据上面所述，当P点在l上变动时，xyz在端点P’或P”处为最小，
14、这里P’、P”是l与△RQS的边界的交点，但△RQS的边不与△ABC的边平行，因而在P移到△RQS的边界后，不能搬用上述方法再将P’或P”调整为△ABC的顶点.但是
