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1、第10章无穷级数习题课内容提要1.基本概念设有序列:,称表达式为无穷级数,简称级数.当为数列时,称其为常数项级数或数项级数.当()是某个区间上的函数时,称其为上的函数项级数,例如和等.(1)数项级数敛散性概念称()为的前项部分和,若部分和数列收敛(设),则称收敛,并称为其和,可记为;否则称发散,发散的级数没有和.(2)级数收敛的必要条件若收敛,则必有;反之不真.(3)级数的基本性质当时,与敛散性相同;对于,与敛散性相同.(4)收敛级数的性质设,,,有;（线性性质）16收敛,且.(加括号性质)(5)收敛（只要极限存在即可）,当且仅当数列收敛.（区别数列与级数的概念！）(6)几何级
2、数与级数的敛散性收敛的充要条件是,且收敛时;收敛的充要条件是,特别地,调和级数是发散的.2.正项级数的审敛法(1)基本定理:()收敛有上界.(2)比较法:设有正项级数,,若,使得当时有成立,则1由收敛可得收敛;2由发散可得发散.比较法的极限形式:设有正项级数,若(有限数或),则1当时,与的敛散性相同;2当时,由收敛可得收敛;3当时,由发散可得发散.注:运用比较法的关键在于:1事先估计待审级数的敛散性（当时,若,则一般是收敛的,否则可能发散）;216找到敛散性已知的级数作为比的较基准级数(通常是几何级数或级数).(1)比值法与根值法若或(有限数或),则1当时收敛;2当时发散;3当
3、时,可能收敛,也可能发散.(2)积分审敛法设在上连续、非负且单调递减,记(),则收敛的充要条件是广义积分收敛.3.任意项级数的审敛法(1)绝对收敛定理:若任意项级数绝对收敛(即收敛),则必收敛,反之不真;但若由比值法与根值法判定发散,则也发散.(2)交错级数的Leibniz准则:若交错级数()满足条件①及②单调递减,则收敛,且.4.幂级数的收敛域与和函数的求法(1)关键在于求()的收敛半径当其“不缺无限多项”时,使用公式:若或,则;当其“缺少无限多项”时,要依照的定义使用比值法或根值法求得,有时可做变量代换化为“不缺项”的级数而使用公式.(2)收敛域{收敛的端点}({收敛的端点
4、}).16(3)求和函数的方法根据下列幂级数的和函数<1>,;<2>,;<3>,;通过逐项积分、逐项求导、加减、变量代换及恒等变形等求出.5.将函数展为幂级数—Taylor级数(1)若在的某邻域内无限次可微函数在点处能展成幂级数,则所展级数是惟一的,即必为Taylor级数(时,称为Maclaurin级数).(2)在内无限次可微函数在点处能展成幂级数的充要条件是有,其中是在点的阶Taylor公式中的余项.(3)利用直接展开法可得到下列常用的展开式<1>,;<2>,;<3>,;<4>,16收敛半径.(4)一般采用间接展开法求在点的Taylor展开式.6.将函数展为Fourier级数
5、(1)Dirichlet收敛定理:若在(或)上满足条件:①连续或只有有限多个第一类间断点,②至多只有有限多个极值点,则的以为周期的Fourier级数在上处处收敛,且在(或)上,其中Fourier系数(),();特别地,当为的连续点时,,.(2)正弦级数与余弦级数当为上的奇函数时,其Fourier级数为,称为正弦级数,其中();当为上的偶函数时,其Fourier级数为,称为余弦级数,其中().(3)对于定义在半区间上且满足Dirichlet条件的函数，或作奇式延拓,展为以为周期的正弦级数;或作偶式延拓,展为以为周期的余弦级数.7.利用函数项级数求数项级数的和一般利用幂级数,有时也
6、利用函数的Fourier展开式求数项级数的和.(1)利用幂级数求数项级数的和,通常按以下步骤进行:16(a)找一个(容易求出和函数的)幂级数,使得;(b)求的收敛域(应使,否则要另找幂级数);(c)求出的函数;(d)(2)利用函数的Fourier展开式求数项级数的和的问题,一般总是附在求的Fourier级数之后,由收敛定理而得.例如，在例5.3的展开式中，令即得（附：易知）利用这个结果，可得定积分16课堂练习(1-5题选自复习题10)1.填空题(1)设幂级数的收敛半径,则的收敛区间为.解:因为的收敛半径,所以的收敛半径,从而的收敛半径,故其收敛区间为.(2)函数的Maclaur
7、in级数为.解:,.直接求解也不繁！(3)的和函数为.解:收敛域为.,.(4)的和为.16解:考虑幂级数,其收敛域为.,.故.(5)(补充)已知,,则.解:只需求出.事实上,所以.(6)(补充)设在点处条件收敛,则其收敛半径.解:因为在点处收敛,故由Abel定理知,当时,绝对收敛;又因为在点处发散,故当时,发散(否则在处收敛);所以.(7)(补充)设是的以为周期的傅里叶级数的和函数,则.16解:.2.选择题(1)设正项级数收敛,常数,则(A)发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)敛散性
