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1、近世代数习题解答第二章群论1群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2.举一个有两个元的群的例子.证对于普通乘法来说是一个群.3.证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件来作群的定义:.至少存在一个右单位元,能让对于的任何元都成立.对于的每一个元,在里至少存在一个右逆元能让证(1)一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由得因为由有元能使所以即(2)一个右恒等元一定也是一个左恒等元,意即由得即这样就得到群的第二定义.(3)证可解取这就得到群的第一定义.反过来有群的
2、定义得到是不困难的.2单位元,逆元,消去律1.若群的每一个元都适合方程,那么就是交换群.证由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对有.1.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证(1)先证的阶是则的阶也是.若有使即因而这与的阶是矛盾.的阶等于的阶(2)的阶大于,则若这与的阶大于矛盾(3)则总起来可知阶大于的元与双双出现,因此有限群里阶大于的元的个数一定是偶数2.假定是个数一个阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的个数一定是奇数.证根据上题知,有限群里的元大于的个数是偶数;因此阶的元的个数仍是偶数,但阶是的元
3、只有单位元,所以阶的元的个数一定是奇数.3.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证故由于是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:故是整数,因而的阶不超过它.4群的同态假定在两个群和的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同?证不一定相同例如对普通乘法都作成群,且(这里是的任意元,是的元)由可知∽但的阶都是.而的阶是.5变换群1.假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元,使得?证我们的回答是回有的:1→11→12→12→33→23→44→34→5……显然是一个非一一变换但2.假定是所有实数作成的集合
4、.证明.所有的可以写成是有理数,形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?证(1)是有理数是关闭的.(2)显然时候结合律(3)则(4)而所以构成变换群.又:故因而不是交换群.3.假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:来说明一个变换.证明,我们可以用:来规定一个的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是的单位元.证那么显然也是的一个变换.现在证这个乘法适合结合律:故再证还是的单位元4．证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。证设是是变换群的单位元，是变换群，故是一一变换
5、，因此对集合的任意元，有的元，=另证根据习题知1.证明实数域上一切有逆的矩阵乘法来说，作成一个群。证={实数域上一切有逆的矩阵}则是的逆从而对矩阵乘法来说，当然适合结合律且（阶的单位阵）是的单位元。故作成群。6置换群1.找出所有的不能和交换的元.证不能和交换的元有这是难验证的.2.把的所有的元写成不相连的循环置换的乘积解:的所有元用不相连的循环置换写出来是:(1),(12),(13),(23),(123),(132).3.证明:(1)两个不相连的循环置换可以交换(2)证(1)==(又)==,故(2),故
6、.2.证明一个K一循环置换的阶是K.证设…………设,那么 ５．证明的每一个元都可以写成这个２－循环置换中的若干个乘积。 证 根据定理２。的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明 同时有,这样就得到所要证明的结论。则7循环群1．证明一个循环群一定是交换群。证，则2．假设群的元的阶是，证明的阶是这里是和的最大公因子证因为所以而3.假设生成一个阶是的循环群。证明也生成，假如(这就是说和互素)证生成一个阶是的循环群，可得生成元的阶是，这样利用上题即得所证，或者，由于有即故4假定
7、是循环群，并且与同态，证明也是循环群。证有2。4。定理1知也是群，设且(是同态满射)则存在使因而∽故即因而即Ã=（ã）5．假设是无限阶的循环群，是任何循环群，证明与同态。证ⅰ）设是无限阶的循环群，令且所以∽ⅱ）设而的阶是。令：当且只当,易知是到的一个满射设则那么∽8子群1．找出S3的所有子群证S3={}的子群一定包含单位元。ⅰ）S3本身及只有单位元都是子群ⅱ）包含和一个2一循环的集合一定是子群因={}，={}，={}亦为三个子群ⅲ）包含及两个3—循环置换的集合是一个子群，={}是子群，有以上6个子群，今
8、证只有这6个子群，ⅳ）包含及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因不属于此集合ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群因ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群因ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群因若出现则故有且只有6个子群。2.证明；群的两个子群的交集也是的子群。证是的两个子群，显然非空则同时因是子群，故，同时所以故是的子群3．取的子集，生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不
