中南大学数学院高等代数行列式word课件

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1、第二章行列式Determinants§1引言§5行列式的计算§2排列§6行列式按行(列)展开§3n级行列式§7Cramer法则§4n级行列式的性质§8Laplace定理行列式乘法法则§2.1引言1．用消元法解二元线性方程组原方程有唯一解由方程组的四个系数确定若记,,,则当时该方程组的解为2．在三元一次线性方程组求解时有类似结果方程组当时，有唯一解其中，，。3．自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组它的解是否也有类似的结论呢？为此，本章依次解决如下问题：1）怎样定义n级行列式2）n级行

2、列式的性质与计算？3）方程组(＊)在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？一、排列二、逆序逆序数三、奇排列偶排列四、对换一、排列定义：由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列注：所有不同n级排列的总数是（n阶乘）如，所有的3级排列是123，132，213，231，312，321——共6=3！个.二、逆序　逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个

3、排列的逆序数．注：①排列称为标准排列，其逆序数为０①排列的逆序数常记为②后面比小的数的个数后面比小的数的个数后面比小的数的个数或前面比大的数的个数前面比大的数的个数前面比大的数的个数．例1．排列31542中，逆序有31，32，54，52，42例2．求n级排列的逆序数解：12n-1n-11三、奇排列、偶排列定义逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．注：标准排列为偶排列．练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性(2)答案:(1)当n=4k,4k+1时为偶排列；当n=4k+2,4k+3时为奇排列（2）当n为偶数时为

4、偶排列，当n为奇数时为奇排列.四、对换定义个排列中某两把一个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理1对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．证明1)特殊情形：作相邻对换设排列为abba除ab外，其它元素所成逆序不改变.当ab时，经对换后a所成逆序不变，b的逆序减少1个.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.2)　一般情形设排列为ab现来对换a与bababbaabba所以一个

5、排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论所有n级排列中，奇、偶排列各半，均为个.证明设在全部n阶排列中，有s个奇排列，t个偶排列，下证s=t．将s个奇排列的前两个数对换，则这s个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，同理，将t个偶排列的前两个数对换，则这t个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，故定理2任意一个排列与标准排列都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同。证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0）,因此知结论成立.作业题P961.2.3.5.第二章行

6、列式§1引言§5行列式的计算§2排列§6行列式按行(列)展开§3n级行列式§7Cramer法则§4n级行列式的性质§8Laplace定理行列式乘法法则一、行列式定义二、n级行列式的等价定义行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程

7、组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。一、行列式的定义1.二级行列式=2.三级行列式=d=沙路法=4阶及4阶以上行列式不遵循此规则!对角线法3.n级行列式n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(1)的代数和，这里为的排列.每一项（1）都按下列规则带有符号：当为奇排列时（1）带负号；当为偶排列时（1）带正号；即=这里表示对所有1、2、…、n的n级排列求和．注：1）行列式常简记为或2）D=中的数称为行列式D处于第i行第j列的元素，i称为行指

8、标，j称为列指标.3)n级行列式定义展开式中共有n！项．例1　计算行列式==1+18+12-9-4-6=12例2.===-6!=-720一般地,=对角型行列式===上三角形行列式下三角形行列式类似可得：=上三角行列式=下三角行列式例3.已知f(x)=,求的系数解