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1、第五章定积分的概念教学目的与要求：1．解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。2．解广义积分的概念并会计算广义积分。3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。5.1定积分概念一．定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，118把区间[a,b]分成n个小区间，记在[]上
2、任意取一点，作和式：如果无论[a,b]作怎样分割，也无论在[]怎样选取，只要有I（I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做即I=其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。注1．定积分还可以用语言定义2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=和S=3有定义知道表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即==1184定义中的不能用代替5如果存在，则它就是f(x)在[a,b
3、]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：在[0，1]上不可积。可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。定理3设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。1186几何意义当f(x)0时，表示曲边梯形的面积；当f(x)0时，表示曲边梯形的面积的
4、负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则表示曲边梯形面积的代数和。[例1]计算解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为，，取作和式：所以：=e-17．按照定义5．2定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知，是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定：1．a=b时，=01181．a>b时，=-性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）性质3：无论a,b,c的位
5、置如何，有性质4：f(x)则性质5：若f(x)g(x)则性质6：性质7：设在，，则性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存一点，使下式成立，例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于,,,118之间面积例2、（估计积分值）证明证：在上最大值为，最小值为2∴∴5．3定积分的计算方法一．变上限积分函数的导数设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为（）称是变上限积分
6、的函数。定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上可导，且导数为证明省略118定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数。注意：1定理说明了连续函数的原函数一定存在2此定理指出了定积分与原函数的关系二、基本定理牛顿—莱伯尼兹公式定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 。 (1)证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某
7、个常数，即。(2)在上式中令x=a，得。又由F(x)的定义式及上节定积分的补充规定知F(a)=0，因此，C=118F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F(x)，可得，在上式中令x=b，就得到所要证明的公式(1)。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)–F(a)记成。公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例1 计算定积分。解 。例2 计算。解 。例3 计算。118解
8、。例4 计算正弦曲线y=sinx在[0,p]上与x轴所围成的平面图形的面积。解 。例5 求解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此。例6、1185．4定积分的换元法定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数在上严格单调，且有连续导数，（3）时，且则有换元公式：…….(1)注1．用换元法时，当用将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分
