11.3 多边形及其内角和

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1、人教版义务教育教科书◎数学八年级上册11.3多边形及其内角和教学目标1．了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值．2．使学生了解多边形的内角、外角等概念．3．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．教学重点与难点多边形内角和（外角和）公式的探索与证明过程．课时安排2课时．教案A第1课时教学内容多边形．教学过程一、新课导入教师引导学生观察教材图11.3-1，从中找出几个由一些线段围成的图形．二、探究新知1．多边形的定义在同学讨论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？人教版义务教育教科书◎数学八年级上册（1

2、）它们在同一平面内．（2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的．这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？明晰：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）2．多边形的边、顶点、内角和外角．多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．3．多边形的对角线连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．让学生画出五边形的所有对角线．提示：n

3、边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n－2）个三角形，共有对角线n(n－3)/2条．例如：十边形有________条对角线．在这里n＝10，就可套用对角线条数公式n(n－3)/2＝10(10－3)/2＝35（条）．4．凸多边形与凹多边形在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形．今后我们在习题、练习中提到的多边形

4、都是凸多边形．5．正多边形人教版义务教育教科书◎数学八年级上册由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．三、课堂小结1．了解多边形中的有关概念2．会求多边形的对角线条数3．知道凸多边形与正多边形的定义四、布置作业习题11.3第1、2题．第2课时教学内容多边形的内角和．教学过程一、新课导入说出正方形、长方形的内角和都等于度，其他四边形的内角和等于多少？二、探究新知1．多边形的内角和让学生任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量，算一算．你能得出什么结论？提示：能否利用三角形

5、内角和等于180°得出这个结论？要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°，只要将四边形分成几个三角形即可．学生独立思考交流后，师生完成证明过程．如下图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形．人教版义务教育教科书◎数学八年级上册由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2＋∠4＋∠D）．∵∠1＋∠B＋∠3＝180°，∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D＝180°＋180°＝360°．即四边形的内角和等于360

6、°．类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？请填空：边数图形对角线条数分割的三角形个数多边形内角和三角形3－3＝03－2＝1180°四边形4－3＝14－2＝2360°五边形5－3＝25－2＝3540°六边形6－3＝36－2＝4720°……n边形n－3n－2(n－2)×180°把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？2．内角和的应用例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？解：如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝

7、360°，∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－180°＝180°．这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．3．多边形的外角和例2如下图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？人教版义务教育教科书◎数学八年级上册分析：考虑以下问题：（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？联系这些问题，考虑外角和的求法．解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于18

8、0°．因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°．这个总和就是六边形的外角和加上内角和．所以外角和