关于极限及若干种计算方法

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1、关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下：一代入求值法：这种方法只适用于在点连续的函数求极限。例1、计算解：,例2、计算：二倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的。例3、解：因为分子分母的极限均不存在，故不能运用商的极限运算法则，可先将分子分母分别除以，然后取极限。于是例4、求解：因为分母极限为零，分子极限不为零，故先考虑的极限。因为所以（无穷小量的倒数是无穷大量。）例5、计算-13-解：由于极限的运算法则不适用于无限和的情形，故本题宜先求和，再求极限。因为所以利用倒数法可得如下结论：三化积约分法：有些函数在处无定义，这时不能用代入求值法求极限，但当时,的

2、极限存在与否与在点处是否有定义无关，所以常将先作适当变形，如分解因式约去极限为零的分母等，转化为在处有定义的新函数，再用代入求值法。例6、计算解：因为在处无定义，先将分式通分，化成最简分式后再求极限。例7、四因式有理化法：这种方法实质上同化积约分法一样，如果-13-的表达式是一个无理式，而求极限的四则运算又不能适用，可先将分子或分母有理化，再求极限。例8、计算解：在处无定义，故先将分子、分母同乘以它们有理化因式，再取极限。例9、计算解：当时，每项的极限均不存在，所以不能用差的极限运算法则，为此先设法有理化。所以，五公式法：运用两个重要极限：例10、计算例11、求例12、计算-13-六变量

3、代换法：这是在计算较复杂的函数极限时常用的技巧，通过适当的变量代换，可使复杂的极限问题转化为较简单的极限问题。例13、求例14、求七夹挤法：此法利用极限准则Ⅰ即夹挤定理。例15、计算例16、-13-八单调有界法：用单调有界原理判断极限存在，再求其极限。例17求数列解：显然，此数列是单调上升的，下面证明数列有上界。例18、设，数列满足条件：，计算。解：显然对任何，都有,故有下界，由于所以是单调递减的，故的极限存在。设，得注：例17与例18这一类数列，应在数列极限存在的前提下才能使用此种方法。九用洛必塔法则求极限：当极限为待定型时，可用洛必塔法则求之。例19求例20、求解：-13-其它还有均

4、为待定型。这五种类型都可转化为例21求解：例22、求解：例23、求例24、求解：例25、求本方法可解：（1）求（2）十积分法：有些极限用定积分定义计算较为简便。-13-例26、求例27、求例28、求例29、求例30、求解：原式=-13-十一利用等价无穷小求极限：例31、利用等价无穷小数极限求解：例如当十二利用级数收敛的必要条件求极限：由正项级数的达朗贝尔判别法,级数,再由级数收敛的必要条件知十三利用泰勒公式求极限-13-