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1、’院学报、粉南师范乎白然种举牟第期徽分凡何与积分几何’陈省身,积分几何自从英国几何学家克罗夫顿开始研究以来现今已通过·‘·““人,”布拉施克,桑塔洛及其他学者所做的工作而取得重大,。进展一般地说其主要目的在于研究能够附加于一个给定族的各个测度之间的关系在,。这篇文章里我的意图则是讨论它能为微分几何中某些阿题所提供的帮助‘欧硫李闻中栩子流鹅的球面琳的洲度。”‘,”。维欧氏空间中一个维子流形由‘个维抽象微分流形与雅可比矩阵处处,“。,“有秩的可微分映射‘来给出如果映射是一一的亦即与自身不,。”,一交则称砂是嵌入的的全体单位法向量组成上一个
2、维球丛并构成一一。‘。,个维流形尚若是的固定点而是以为原点的单位超球面便存在。,一个映射,把的单位法向量映入过的单位向量终点且与这个单位向量平。。行是曲面论中高斯法映射的推广,丫,丫。从现在起假设是紧的从而也是紧的且我们把象的体积除以自身”,。的体积定义为的全曲率丫每点计数的重数等于映入它的点的个数这个二全曲率我们将以表示从某种意义上讲它就是子流珍弯曲性的一种测度例如,。对一条空间闭曲线而言其全曲率差一个常数因子就是曲率绝对值的积分,拉瑟夫和我〔〕证明了关子全曲率的下列各定理”。全曲率几大于或等于的关于任一系数域的贝带数之和作为一个推
3、“,,论便得到孔》这个结果可由上坐标函数极大与极小的一个初等讨论而直接。导出“。如果则与一球面同胚这个结果也已由米尔诺。获证〕,。当且仅当时为嵌入一个雄子空间的凸超曲。面。这是陈省身教授年在英国爱丁垦召开的第十三次国际数学家大会上所作的报告。这些定理的一个基本根据是上大童坐标函数的存在性于是莫尔斯的。临界点理论提供了一个证朋的基本工具“就一个抽象地给出的微分流形而么人们被引向对于尽可能小的浸入的研。,“,究这样就自然出现了两个间题对所有可能的浸入只用自身来表示二“,。“的最小值是什么当全曲率达到最小值的时候刻划浸入当与一,球面同胚时定
4、理回答了这些问题。,二这两个阿胭对于一般的紧流形所知甚少定理表朋小坛翻名,,大于或等于哟棋贝蒂教之和有充分的迹象支持下列猜粗即砂等于可用来“,把细分为一胆胶复形的胭腔的最小个数但这一猜想的正确性仍姚无雇诊,。,,“,至于问题凯拍的一种猜想是如果浸入川具有,红。一二最小全曲率叻则双《女当为一超曲面且有最小全曲率,。时已经得到若千必要条件。,,一种简单的情探是娜为一空问闭曲线的时候此时定理可加强成下面的形式法雷《〔〕与米尔诺〔〕全曲率的空间。,闭曲线是不打结曲线于是定理给出了空间纽结的一个简单的必要条件另一应用是上述定理的如下推论浸入通常
5、欧氏空间中的闭曲面具有高斯曲率,。。“》则必为一嵌入凸袖面在这一更强的假设下结论来自阿达玛雄。,,的一个著名的论断或许会使人感兴趣我们指出相似的结论对更高维情形并不成立,一可以在四维或更高维欧氏空间中找到非凸闭超曲面的例子它们的高斯克罗内克叮。呱曲率处处是非负的复解析映射的象的测度。二复射影空间中的复解析子流形理论与欧氏空间中的子流形理论全然相仿设为一,。、。个复维复流形,为映入维复射影空间的复解析映射对于这。,,,。类映射的研究包含了各种经典理论作为特例事实上如果是紧的那末为一。,,代数族又若为复欧氏直线或者如通常所称为高斯平面则复
6、解析映射,十,在韦尔韦尔和阿尔福斯的意义。,下定义了一条亚纯曲线特别地复解析映射,的概念等同于定义在高斯平面。中的亚纯函数概念,二从皮卡的经典定理入手这种研究的一个主要何题在于决定与象。,,不相交的维线性空间集合的最大样子对于亚纯曲线下面的波莱尔定理。提供了一个令人满意的解答设亚纯曲线非退化亦即它不落在的一张超平面内,,给定处于一般位置的个超平面则象与其甲的一个超平面相交显然这一,定理包含了作为其特例的皮卡定理即高斯平面的一个整函数最多不取一个。值以及‘一“长,一‘一二一丽二丁厂‘艺中人币‘曲‘一《《然后得到公式二一·,一丁。。,,毛
7、与公,,,式中为共点的个数用它们的重数来计数而是适。。,,,,,当规范化的体积尤其可知若没有边界而非退化从而子。则与中每个维线性空间相交。、⋯。。非紧复流形的第一个例子或许就是维复欧氏空间设仁争为的坐标当‘,时可用区域‘。二。孟屯之《。,二来穷竭这样似乎是最自然的穷竭因为如果我们在无穷远外添上一个超平面来紧化,二。则在之补将形成的一个管状邻域娜。‘。首先考虑亚纯函数,的经典情况设以为的象的体积对一个一般,‘,〔设,。点为被覆盖的重数则可以写成·一··‘·,一“。“卜卜六一澄辫一这就捉使我们记,、”气一一了一一‘,,嵌,只。,对式做关于
8、积分得到兀一一,二一华【几、,此即是亚纯函数返论中的所谓第定理我们引入阶函数的过程恰恰就是希米注‘,一一。二朱阿尔福斯五导出阶函数的方法,。因为第一主定理涉及一个一般点自然要对它在七积分如果我们用不变密度,求积分则有克罗
