高等数学教案上册，word版

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1、第一章函数与极限§1.1映射与函数一、集合1.集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,M等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aÎM.集合的表示:【列举法】把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a,b,c,d,e,f,g}.【描述法】若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为M={x

2、x具有性质P}.例如M={(x,y)

3、x,y为实数,x2+y2=1}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N={0,1,2,×××,n,××

4、×}.N+={1,2,×××,n,×××}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z={×××,-n,×××,-2,-1,0,1,2,×××,n,×××}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若xÎA,则必有xÎB,则称A是B的子集,记为AÌB或BÉA.如果集合A与集合B互为子集,AÌB且BÌA,则称集合A与集合B相等,记作A=B.若AÌB且A¹B,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作Æ.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设

5、A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AÈB,即AÈB={x

6、xÎA或xÎB}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AÇB,即AÇB={x

7、xÎA且xÎB}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作AB,即AB={x

8、xÎA且xÏB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称IA为A的余集

9、或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则【交换律】AÈB=BÈA,AÇB=BÇA;【结合律】(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC),(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC);【分配律】(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC),(AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC);【对偶律】(AÈB)C=ACÇBC,(AÇB)C=ACÈBC.(AÈB)C=ACÇBC的证明:xÎ(AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎAC且xÎBCÛxÎACÇBC,所以(AÈB)C=ACÇBC.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合

10、A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A´B,即A´B={(x,y)

11、xÎA且yÎB}.例如,R´R={(x,y)

12、xÎR且yÎR}即为xOy面上全体点的集合,R´R常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设a

13、a

14、a

15、a£x£b}称为闭区间,[a,b)={x

16、a£x

17、a

18、开区间.其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b-a称为区间的长度.无限区间:[a,+¥)={x

19、a£x},(-¥,b)={x

20、x

21、

22、x

23、<+¥}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设d是一正数,则称开区间(a-d,a+d)为点a的d邻域,记作U(a,d),即U(a,d)={x

24、a-d

25、

26、x-a

27、

28、X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:X®Y,其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即Df=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即Rf=f(X)={f(x)

29、xÎX}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域Df=X;集合Y,即值域的范围:RfÌ

30、Y;对应法则f,使对每个xÎX,有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个xÎX,元素x的像y是唯一的;而对每个yÎRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfÌY,不一定Rf=Y.例1设f:R®R,对每个xÎR,f(x)=x2.显然,f是一个映射,f的定义域Df=R,值域Rf={y

31、