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1、第二学期第一次课第五章§3实与复二次型的分类1．复、实二次型的规范形：定理复数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形22z+L+z,1r其中r是f的秩.复二次型的规范形是唯一的.证明复数域C上给定二次型)nnf=∑∑aijxixj(aij=aji)i==11j设它在可逆线性变数替换X＝TZ下变为标准型222dz+dz+…dz1122nn这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换（η，η，…，η）＝（ε，ε，…，ε）T12n12n使对称双线性函数f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即f(η,η)=d
2、δ,ijiij设d,d,…d中有r个不为零。只要把η，η，…，η的次序重新排列一下，就可以使不12n12n为零的d排在前面，而后面n－r个d全为零。因此，不妨设f的标准型为ii222dz+dz+…dz（d≠,0i=,2,1…r），1122rrif的矩阵为A=(a),有ij⎛d1⎞⎜⎟⎜d2⎟⎜⎟O⎜⎟T′AT＝D＝⎜dr⎟⎜⎟0⎜⎟⎜O⎟⎜⎟⎝0⎠因T可逆，r（D）=r(A).故D中主对角线上非零元素个数r＝r（D）＝r（A）＝f的秩。因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线
3、性变数替换（其中d为d的任一平方根）：ii⎛u1⎞⎛d1⎞⎛z1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜M⎟⎜O⎟⎜M⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ur⎟⎜dr⎟⎜zr⎟U==⎜ur+1⎟⎜1⎟⎜zr+1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜M⎟⎜O⎟⎜M⎟⎜u⎟⎜1⎟⎜z⎟⎝n⎠⎝⎠⎝n⎠于是f变作222u+u+L+u.12r定理实数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形2222z+L+z−z−L−z,1pp+1p+q其中正平方项的个数p称为f的正惯性指数，负平方项的个数q称为f的负惯性指数（p−q称为f的符号差），p+q是f的秩.实二次型的规范形是唯一
4、的.证明在实数域R上给定二次型nnf=∑∑aijxixj(aij=aji)i==11j设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在R上可逆线性变数替换X＝TZ，使f化为标准型222dz+dz+…dz1122rr其中d,d,…d为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个:d,d,…d为正数，而余12r12p下r－p个：d,L,d为负数。因为在R内任何正数均可开平方，故可做R内可逆线性变p+1r数替换⎧u=dz111⎪⎪LLLL⎪u=dzppp⎪⎪up+1=−dp+1zp+1⎪⎨LLLLLLL⎪u=−dz⎪rrr⎪u=
5、zr+1r+1⎪⎪LLLLLLLLLL⎪u=z⎩nn于是二次型化作2222u+L+u−u−L−u1pp+1r其中0≤p≤r.现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。设f有两个规范型2222u+L+u−u−L−u1pp+1r2222v+L+v−v−L−v1qq+1r按命题2.2的推论，这表明在R上n维线性空间V内存在一组基η，η，…，η，使12n当α=uη+L+uη时11nn2222Q(α)=u+L+u−u−L−uf1pp+1r在V内又存
6、在一组基ϖ，ϖ，…，ϖ，使当α=vϖ+L+vϖ时，12n11nn2222Q(α)=v+L+v−v−L−vf1qq+1r现令M=L(η，L，η)，则当α∈M,α≠0时，1pα=uη+L+uη(u不全为零)。11ppi22于是Q(α)=u+L+u>0。又令N＝L（ϖ,L,ϖ）。则当α∈N时，有f1pq+1nα=vϖ+L+vϖq+1q+1nn22于是Q(α)=−v−L−v≤0。这表明M∩N={0}。按维数公式，我们有fq+1rn=dimV≥dim(M+N)=dimM+dimN=p+(n−q)这表明p−q≤0，即p
7、≤q。由于p，q地位对称，同理应有q≤p，于是p＝q。第二学期第二次课2．正定二次型：正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型；正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵；设A＝（a）为n阶实对称矩阵，称A的r阶子式ij⎧12Lr⎫A⎨⎬⎩12Lr⎭为方阵的顺序主子式。定理设f是实二次型，则下述四条等价：（i）f正定；（ii）f的矩阵A=T′T，其中T为可逆阵；n（iii）f对应的二次型函数Q(α)>0(∀α∈R,α≠)0;f（iv）f的矩阵的所有顺序主子式都大于0.证明由命题2.2知（i）与（ii）等价
8、。（i）与（ii）等价有一个很有用的推论：正定矩阵的行列式大于零。（i）⇒（iii）：在V的某一组基η，η，…，η下Q(α)的解析表达式为：若12nfα=uη+L+uη，11nn222Q(α)=u+u+L+u.f12nn显然有Q(α)>0(∀α∈R,α≠)0。f（iii）⇒（i）：设f=X′AX的规范型为2222u+L+u−u−L−u1pp+1r则上式为Q(α)在V的某一组基η，η，…，η下的解析表达式。若r
