一轮复习配套讲义：第8篇 第8讲 曲线与方程

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1、第8讲　曲线与方程[最新考纲]1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质．3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知识梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实

2、数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M

3、p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．辨析感悟1．曲线与方程的概念(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)(2)条件甲

4、：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．(×)(3)(教材习题改编)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(×)(4)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)2．求曲线的轨迹方程(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(×)(6)两条动直线y＝x＋b，y＝2x－b(b∈R)交点的轨迹方程是3x－2y＝0.(√)(7)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直

5、线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是抛物线．(√)(8)(2014·济南质检)过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是＋＝1.(√)[感悟·提升]1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如(2)错误理解了曲线方程的含义．2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合

6、实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.学生用书第154页考点一　直接法求轨迹方程【例1】如图所示，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.(1)求mn的值；(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解　(1)由·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn.得－2mn＝－，∴mn＝.(2)设P(x，y)(x>0)，由＝＋，得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)．∴整理得x2－＝4mn，又mn＝，

7、∴P点的轨迹方程为x2－＝1(x>0)．它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．规律方法(1)一是解本题第(2)时，根据利用第(1)问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．【训练1】(2013·陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y

8、轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，

9、O1A

10、＝

11、O1M

12、，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．∴

13、O1M

14、＝，又

15、O1A

16、＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.考点二　定义法(待定系数法)求轨迹方程【例2】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求

17、动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．解　如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，当动圆与圆O1相外切时，有

18、O1M

19、＝R＋2.①当动圆与圆O2相内切时，有

20、O2M

21、＝10－R.②将①②两式相加，得

22、O1M

23、＋

24、O2M

25、＝12>

26、O1O2

27、，∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)，O2(3,0)，长轴长等于