基本不等式第一课时

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1、基本不等式（第一课时）授课教师：浙江省温州市第十四高级中学陈芝飞教材：人教版高中数学必修5第三章一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养------数学抽象与直观想象。2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养----逻辑推理论与数学运算。3．通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发

2、现数学的和谐美、对称美、简洁美。4．借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程．难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值．三、教学过程：1．由形及数，发现新知师：先给大家展示一幅图。（展示北京国际数学家大会会标）问题1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？师：这个是

3、什么图形？你感觉它像什么呀？这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看上去像一个“风车”，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的图标是2002年8月20—28在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．问题2：你知道如何用这张图证明勾股定理吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，于是，4个直角三角形的面积之和，小正方形的面积

4、所以大正方形的面积．进一步得到正方形的边长为．问题3：刚刚从等量关系得到了勾股定理，同学们能否仍然从面积的视角，得到不等关系呢？生：正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和.师：用数学式子加以表示？生：师：大家认为如何？生：师：什么时候取到等号呢？（教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件）生：的时候取到等号。师：除了这个时候还有别的情况使得等号成立吗？生：没有了。师：数学上把这种情况称做“当且仅当”。（板书：若，则（当且仅当时，等号成立））2．代数证明，得出结论根据上述几何背景，初步形成不

5、等式结论：若，则（当且仅当时，等号成立）．师：你能给出它的证明吗？证法（作差法）：，当时取等号．师：通过证明我们发现，这个重要不等式的实质就是“实数平方的非负性”。在该过程中，可发现的取值可以是全体实数。完善结论，得到重要不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）3.数学变换，探索新知练习：（1）比较与的大小？（2）_______生：师：数学变换是数学研究的一把利器。那么第二个练习谁来试试？生：师：很好，这个不等式我们习惯上把它写成：（），并称这个不等式为“基本不等式”．（板书基本不等式）师：以上我们从几何图形的面积关系获得

6、，并结合数学变换得到基本不等式。能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？让我们一起来分析一下。4.运算推理，分析证明证明：（分析法）要证，只要证______，只要证______，即证，该式显然成立，所以，师：什么时候取到等号？生：当时取等号．师：而且只有当时取等号，所以：当时，（当且仅当时，等号成立）师：“逻辑推理，数学运算”是我们用数学思维分析世界的重要素养，前面采用的是分析法证明基本不等式。分析法的证明思路是“执果索因”，从结果出发，不断寻找、转换使得前面结论成立的新条件，直到这个新条件是显然的、或已经被证明过

7、的正确结论。分析法是证明不等式的常用方法，也是我们解决数学问题，形成解题思路的一种重要的数学方法。其基本步骤是：从结果出发，要证……,只要证……,即证……….5.深化认识，文字叙述：师：基本不等式研究的对象是什么呢？生：两个正数的和与积．师：现在大家再想一想，基本不等式的本质到底是什么呢？生：基本不等式是关于两个正数和与积的一个不等关系式．师：对！用基本不等式解题，关键就是“积化和”或者“和化积”的转化过程．师：数学上，我们称为的几何平均数；称为的算术平均数．基本不等式可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

8、．师：前面我们刚刚学过等差、等比数列，看到“，”同学们会想到什么？生：表示正数的等差中项、表示正数的等比中项。师：对，这里的等比中项指正的等比中项，基本不等式又可叙述为：两个正数的等比中项不大于它们的等差中项．6．还数于形，深度感知师：代数和几何是刻画数学问题的两种基本途径，那么的几何意义又是什么呢？下面我们再从图形