定积分教案2014.2

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1、教案第5章积分的概念及计算5.1定积分的概念与性质5.1.1两个引例1．曲边梯形的面积曲边梯形定义：由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形。求曲边梯形的面积方法：（1）分割任取分点，把区间分成个子区间，子区间长度为。（2）近似在子区间上任取一点，则小曲边梯形面积可近似表示为。（3）求和将个小曲边梯形近似面积相加，则曲边梯形面积的近似为。（4）极限令，则。2．变速直线运动的路程设物体作直线运动，速度，求这段时间内物体所经过的路程S。求路程方法：（1）分割任取分点，把区间分成个子区间，子区间长度为。（2）近似74教案在子区间中可看做匀速直线运动，则在

2、其上任取一点，则在子区间中路程可表示为。（3）求和将个子区间路程相加，则总路程可近似为。（4）极限当时，令，则。5.1.2定积分定义1.定义：设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点将区间分成子小区间，各子区间的长度为，在每个子区间上任取一个点，作的和式，令当时上式极限存在，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作其中为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分下限，为积分上限。说明：（1）由定积分的定义可知：曲边梯形的面积为变速直线运动的路程为74教案（2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，与区间分法和任取函数值无关，与积分变量的字母选

3、择无关，即（3）当时，2.定理定理1：设在区间上连续，则在上可积。定理2：设在区间上有界，且只存在有限个第一类间断点，则在上可积。3.几何意义若，则；若，则若在区间上有正有负，则积分值等于在轴上方部分与下方部分面积差。例：利用定义计算定积分解：几何上此定积分表示半径为1的圆第一象限的面积因此5.1.3定积分的性质性质1：性质2：性质3：注：不论在内或外等式均成立性质4：如果在区间上，则性质5：如果在区间上，则性质6：若函数在区间上的最大值及最小值，则74教案5.2不定积分的概念及性质教学过程5.2.1、导入新课前面我们已经研究了一元函数的微分学

4、，而在实际问题中，往往会遇到相反的问题。比如：已知某质点以速度作变速直线运动，求该质点的运动方程；又如：已知一过原点的平面曲线上任一点处的切线斜率为，求该曲线的方程。这两个问题都可归结为同一类问题——已知某一个函数，求函数，使.象这样的问题就是积分学所要研究的基本问题.本章主要讲述不定积分的概念、性质及其基本积分方法.5.2.2、讲授新课（一）不定积分的概念1、原函数的概念定义1设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数.例如’=故lnx是的一个

5、原函数；是2x的一个原函数，但(+1)’=(+2)’=…=2x所以的原函数不是唯一的。关于原函数的几点说明：1、如果f(x)在某区间连续，那么它的原函数一定存在。2、原函数的统一表达式有如下结论：定理若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C是f(x)的全部原函数，其中C为任意常数2、不定积分的概念定义2函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的不定积分，记为=F(x)+C，其中F/(x)=f(x)，例1求下列不定积分（1）；（2）。解：（1）因为=，所以=+C（2）因为x>0时,=,又x<0时,’==,所以=ln

6、x

7、+C.例2设曲线过点（

8、1，2）且斜率为2x，求曲线方程。解设所求曲线方程为y=y(x).74教案按题意有:=2x,故y==+C.又因为曲线过点（1，2），故代入上式2=1+C,于是所求方程为y=+1.例3设某物体以速度作直线运动，且当时，求运动规律。解：按题意有，即，再将条件时代入得故所求运动规律为。由积分定义知，积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：（1）或；（2）或对这两个式子，要记熟、记准.（二）基本积分公式⑴（为常数），⑵，⑶，⑷，⑸，⑹，⑺，⑻，⑼，⑽⑾,⑿，74教案⒀，（三）不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即(k≠0)性质

9、2两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即.例4求下列不定积分：（1）；（2）。解（1）==；（2）=例5求下列不定积分：(1);(2).解(1)===74教案=例6求下列不定积分:(1);(2).解(1)=(2)sin==三、课堂练习思考题2习作题2题四、小结了解原函数、不定积分的概念及其性质，掌握不定积分的基本公式．熟记基本积分公式.五、布置作业习题五2、374教案5.3积分的基本公式5.3.1积分上限函数及其导数定义：设函数在区间上连续，且设为上的一点，则函数在子区间上的定积分存在，为了方便起见，将积分变量改写为，则定积分为，记作

10、，即，称为积分上限函数。定理：如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上有导数说明：是函数在上的一个原函数例1：求的导数解：例2：求的导数解：例3：求解